3.1.2 复数的几何意义优质课教案推荐

§3.1.2复数的几何意义

教学目标：

1.知识与技能：理解复数与复平面内的点、复数与从原点出发的向量的对应关系，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量；掌握用向量的模来表示复数的模的方法．

2. 过程与方法：了解复数的几何意义，掌握实轴、虚轴、模等概念。

3. 情感、态度与价值观：通过本节的学习培养学生观察、类比、归纳总结的逻辑思维能力及转化、数形结合的思想，提高利用所学知识解决问题的能力。

教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 教学难点：复数与从原点出发的向量的对应关系。

教学过程设计

（一）、温故知新，情景引入，激发兴趣。

上节课,我们大胆假设存在一个新数i(叫做虚数单位)。

规定:①i21; ②i可以和实数进行运算,且原有的运算律仍成立。

1.复数zabi(a,bR)

a─实部 b─虚部

2.复数相等(a,b,c,dR)

abicdiac,bd

注:复数不能比较大小。

【教师引入】

：我们知道实数可以用数轴上的点来表示。

那么，类比实数的表示，可以用什么来表示复数？一个复数由什么确定？[来源:学_科_网

y(二)、探究新知，揭示概念

复平面的定义

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)oaxbZ(a，b)

1

是一一对应关系。这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系

由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

实轴上的点都表示实数。

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，

它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

（三）、分析归纳，抽象概括

在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i

非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，

z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等。

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

一一对应复数zabi复平面内的点Z(a,b)

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量也是一一对应的，如图：

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（四）、知识应用，深化理解

1.例1

已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。

m(3,2)(1,2)m2m60解：由2mm203m2得m2或m122zxx6(x2x15)i对应的点Z2.例2 实数x分别取什么值时，复数 xy30上？ 在（1）第三象限？（2）第四象限？（3）直线 解：（1）当实数x满足

x2x60,2x2x150.3x2时，点Z在第三象限。 即 （2）当实数x满足

x22x60,x2x150.2x5时，点Z在第四象限． 即 （3）当实数x 满足

(x2x6)(x22x15)30xy30上

。

x2时，点Z在直线 即 实数绝对值的几何意义:

实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。

复数的模的几何意义:复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。

复数的模其实是实数绝对值概念的推广

规律方法：

计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小。

3. 例3：求复数z1＝6＋8i及z2＝－3－5i的模，并比较它们的模的大小。

[思路探索] 先确定复数的实、虚部，再代入公式即可。

练习：下列命题为假命题的是：

A在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

B在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；

C在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；

D在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；

2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的( ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

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(C)充要条件 (D)不充分不必要条件

3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范围. 选做作业:

若复数(m2m2)(m23m2)i(mR)在复平面

内的对应的点位于虚轴上，则m的值为( ) (A)1 (B)2,1 (C)1 (D)1,1,2

（五）、归纳小结、布置作业

1．复数的两种几何意义

由于复数z＝a＋bi(a、b∈R)与复平面内的点Z(a，b)以及平面向量都是一一对应的，即：

2．复数的模

复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z| a2b2失误防范

1．注意虚轴与纯虚数的关系：原点在虚轴上，但表示实数零。

2．复数的模|z|不能等同于实数的绝对值。

（六）、布置作业：课本第55页 习题3.1 A组 4 ,5 ；B组1,2

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