二 用数学归纳法证明不等式优秀课堂实录

选修4_5 不等式选讲

课 题：

数学归纳法证明不等式

目的要求：1.了解数学归纳法的原理及适用范围和基本步骤

；

2.会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式（包括贝努利不等式）

重点难点：

认识数学归纳法的证明思路；运用数学归纳法时，在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系。

教学过程：

一、引入：

数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识。

二、典型例题：

1.与正整数有关的命题

例1、

135...(1)n(2n1)(1)nn(☆)证明：

(1)当n1时,式子左右两边都等于1,即这时等式成立.

(2)假设当nk(k1)时等式成立,即135(1)k(2k1)(1)kk

当nk1时，

左边135...(1)k(2k1)(1)k12(k1)1

(1)kk(1)k12(k1)1

k1k2(k1)1(1)

(1)k1(k1)右边

所以当n=k+1时等式成立。

由（1）（2）可知，原式成立。

例2证明：132333n3(123n)2。

例3 证明:n5n(nN)能够被6整除.

证明:(1)当n1时,n35n6显然能够被6整除,命题成立.

(2)假设当nk(k1)时,命题成立,即k35k能够被6整除.

当nk1时,

(k1)35(k1)k33k23k15k5

(k35k)3k(k1)6

3

由假设知k5k能够被6整除,而k(k1)是偶数,故3k(k1)

能够被6整除,从而(k1)35(k1)能够被6整除,因此,当nk1时命题成立.3由(1),(2)知,命题对一切正整数成立,即n35n(nN)能够被6整除.

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

（1）验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的n的值，如n0＝1) (归纳奠基）

；

（2）假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）. 由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！

注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

2.用数学归纳法证明不等式

3.证明不等式sinnnsin(nN)例证明:(1)当n1时,上式左边sin右边,不等式成立.

(2)假设当nk(k1)时,命题成立,即有sinkksin.当nk1时,sin(k1)sinkcoscosksinsinkcoscosksinsinkcoscosksinsinksinksinsin＝(k1)sin即当nk1时不等式成立.由(1)(2)可知,不等式对一切正整数n均成立.

*n例4、设x1，nN，证明贝努利不等式：(1x)1nx。

证明:(1)当n2时,由x0得(1x)212xx212x,不等式成立.(2)假设当nk(k2)时不等式成立,即有(1x)k1kx. 当nk1时,

1xk11x1xk1x1kx1xkxkx21k1x当nk1时不等式成立.由(1)(2)可知,贝努利不等式成立.

当x是实数,且x1,x0时,由贝努利不等式可得(1xnnx)1,对一切不小于2的正整数n成立1x1x

把贝努利不等式中的正整数n改为实数时,仍有类似不等式成立.当是实数,并且满足1或者0时,有(1x)1x(x1)

当是实数,并且满足01时,有(1x)1x(x1)anbnabn()。

例5、设a,b为正数，nN，证明：22*

例6、设an＝1×2＋2×3＋…＋n(n1) (n∈N),证明：1n(n＋1)

。

222

三、小结：

数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.

四、练习：

五、作业：

1、设f(logax)＝a(x21) , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个x(a1)2不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)。

2、已知数列{an}满足a1＝1，an＝an1cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。①．求a2和a3； ②.猜测an，并用数学归纳法证明你的猜测。

3、用数学归纳法证明：6

2n1＋1 (n∈N)能被7整除。