1.3 实习作业公开课教案

题型，三角形图形分析题

1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,对角线AC27,ADC120,cosCAB27. 7

（I）求AD的长；（Ⅱ）若BC23,求梯形ABCD的面积. 2.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAC=45°，∠ADC=60°，DC=（1）求AC的长；（2）求∠ABC的大小．

，AB=3．

3.

已知a，b，c分别为△ABC内角的对边A，B，C，a=2c. （1）若B2，D为AC的中点，求cos∠BDC；

（2）若a22(b22c2)cosAb2c2，判断△ABC的形状，并说明理由. 4.如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=7，AC=8，CD=6，BC⊥CD．

（Ⅰ）求∠BAC的大小；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．

5.如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM=（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若角∠BAC=面积．

，tan∠AMC=﹣．

，求△ABC的，BC边上的中线AM的长为

6.如图，在△ABC中，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，

1

（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若ED=，求角A的大小．

7.如图所示，在四面体ABCD中，AD=1，CD=3，AC=2（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，cosB=．

，求AB的长．

8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，（Ⅰ）求sin∠BAC；（Ⅱ）求DC的长．

，，．

9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=．

，求△ABC的面积．

10.如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=CD=，A=，D为AC延长线上一点，且．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD，AC的长．

11.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，tan∠ABC=﹣2．

2

（I）若∠ACD=，求AC的长；（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．

12.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，a+b+c=ab+bc+ca．

（1）证明△ABC是正三角形；

（2）如图，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=，求sin∠BAD的值．

222

13.如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=2，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，322，EC=7．

3（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．

14.如图，在△ABC中，CA=2，CB=1，CD是AB边上的中线．

（Ⅰ）求证：sin∠BCD=2sin∠ACD；

（Ⅱ）若∠ACD=30°，求AB的长．

15.已知函数f(x)3sinxcosxsin2x．

（Ⅰ）求函数f(x)的递增区间；（Ⅱ）ABC的角A,B,C所对边分别是a,b,c，角

3

A的平分线交BC于D，f(A)32，AD2BD2，求cosC．

16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且2a cosC﹣c=2b．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若c=，角B的平分线BD=，求∠ADB和BC．

17.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=﹣．

（1）求sin∠C的值；（2）若BD=5，求△ABD的面积．

18.如图，在△ABC中，AC=10，，BC=6，D是边BC延长线上的一点，∠ADB=30°，求AD的长．

19.如图，在△ABC 中，点D在边 AB上，且=．记∠ACD=α，

∠BCD=β．

（Ⅰ）求证： =（Ⅱ）若α=，β=，AB=，求BC 的长．

20.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．

（1）若∠DAC=30°，求角B的大小；（2）若BD=2DC，且AD=3，求DC的长．

4

21.如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，满足sin2A+sin2C﹣sin2B=3sinA•sinC

（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）点D在线段BC上，满足DA=DC，且a=11，cos（A﹣C）=55，求线段DC的长．

22.如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．

（I）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．

23.已知△ABC中，是AC边上的中线．

（1）求；

（2）若，求BD的长．

24.如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=cosB=，∠ADB=．（1）求AD的长；（2）求△ADE的面积．

，5

25.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB3，

bsinA4．（Ⅰ）求边长a；（Ⅱ）若△ABC的面积S10，求△ABC的周长l．

26.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=．

（1）若C=，求；（2）若B=，b=2，求BC边上的中线长．

27.如图：在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知∠B=，BC=3 （1）若△BCD为锐角三角形，DC=，求角A的大小；

（2）若△BCD的面积为，求边AB的长．

28.如图，在平面四边形ABCD中，AB=5，∠CBD=75°，∠ABD=30°，∠CAB=45°，∠CAD=60°．（I）求AC的长；（Ⅱ）求CD的长．

29.

如图，在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，且AD4DC.（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求sinCBD的值.

30.如图，在ABC中，点D在BC边上，ADAC

，cosB63

，AB32

，BD=3.（Ⅰ）求ABD的面积；（Ⅱ）求线段DC的长.

6

A BDC

31.在△ABC中，已知tanA=，tanB=．

（1）若△ABC最大边的长为，求最小边的长；

（2）若△ABC的面积为6，求AC边上的中线BD的长．

32.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，求BC边上的高．

33.如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA=DC，已知B=，BC=1．

（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC=，求角A的大小；

（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．

34.如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．

（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．

35.如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135° 求BC的长．

7

36.在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．

37.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．

（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．

38.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．

（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．

39.如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．

（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；

（2）若 AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．

8

试卷答案

1.

（I）因为AB所以cosDCACD,所以DCACAB,

273,sinDCA,

77由ACAD27AD,得：,

sinADCsinDCA3327解得：AD4.

（Ⅱ）法一：

由余弦定理，得AC228CD2162CD4cos120,

2即CD4CD120,解得：CD2或CD6（舍去）. 在ABC中，由余弦定理，得BC212AB2282AB27cosCAB,

即：AB28AB160,解得AB4, 又梯形的高hADsin6023,

所以SABCD1422363.

2法二：同法一求得CD2，h23,

又BC23h,故BCAB,AB故SABCD2.

【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．

【分析】（1）由已知利用正弦定理即可计算得解．

（2）由题意可求∠ACB=45°，进而利用正弦定理可求sin∠ABC=，利用小边对小角，特殊角的三角函数值即可得解．

【解答】（本题满分为10分）

解：（1）由于=，…3分

AC2BC24,

1422363.

2

9

可得：AC==3…5分

（2）∵AD∥BC，

∴∠ACB=45°，…6分

∴由=，可得：sin∠ABC=，…9分

∴利用小边对小角可得：∠ABC=30°…10分

3.（1）（2）为等腰三角形或直角三角形，但不可能是等腰直角三角形. 试题分析：（1）由题意明确，再利用二倍角公式可得；

（2）由题意可得，对角分类讨论从而明确了的形状. 试题解析：

（1）依题意，由，可得，

为的中点，，故，

所以，故. （2）因为，

由余弦定理可得，

①时，为直角三角形；

②当时，即，

因为，故，为直角三角形

③因为，所以与不可能同时成立，

故不可能是等腰直角三角形，

综上所述，为等腰三角形或直角三角形，但不可能是等腰直角三角形.

4.

【考点】HT：三角形中的几何计算．

10

【分析】（Ⅰ）在△BAC中，利用余弦定理求∠BAC的大小；

（Ⅱ）利用三角形的面积公式，即可求四边形ABCD的面积．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，在△BAC中，，

则．

（Ⅱ）在△BAC中，，

则，．

综上四边形ABCD的面积为．

5.

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【分析】（Ⅰ）根据三角形的性质和内角和的定理，转化为和与差公式求解即可．（Ⅱ）利用余弦定理求解出BM，即可求解△ABC的面积

【解答】解：（Ⅰ）由，

得：，

∴．

又∠AMC=∠BAM+∠B，

∴=；

又B∈（0，π），

∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．角∠BAC=，

∴C=．

则AB=BC．

设MB=x，

则AB=2x．

11

在△ABM中由余弦定理，得AM=AB+MB﹣2AB•BMcosB，即7x=21．

解得：．

．

2222故得△ABC的面积6.

【考点】解三角形．

【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；

（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得得结论．

【解答】解：（1）∵△BCD的面积为∴∴BD=

在△BCD中，由余弦定理可得=（2）∵，∴CD=AD==

=；

，，

，结合∠BDC=2∠A，即可在△BCD中，由正弦定理可得∵∠BDC=2∠A ∴∴cosA=7.

【考点】余弦定理．

，∴A=．

【分析】（1）由题意和余弦定理求出cosD的值，由平方关系和内角的范围求出sinD，代入三角形的面积公式求解；

（2）由AC=BC=2得∠BAC=B，由内角和定理求出∠ACB=π﹣2B，由正弦定理列出方程后，利用诱导公式和二倍角正弦公式化简后，即可求出AB的值．

【解答】解：（1）因为AD=1，CD=3，AC=2，

12

所以由余弦定理得，cosD=因为D∈（0，π）所以sinD=又AD=1，CD=3，

所以△ACD的面积S=（2）∵AC=BC=2，

===

=，

…

∴∠BAC=B，则∠ACB=π﹣2B，

由正弦定理得，则又cosB=，即，所以AB=AC•cosB=2×，

，

=4．…

8.

【考点】HP：正弦定理．

【分析】（Ⅰ）由已知及余弦定理可求BC的值，利用正弦定理即可得解sin∠BAC的值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）利用诱导公式可求cos∠CAD，从而利用同角三角函数基本关系式可求sin∠CAD，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinD的值，由正弦定理即可得解DC的值．

【解答】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：AC2=BC2+BA2﹣2BC•BAcosB，

即BC2+BC﹣6=0，解得：BC=2，或BC=﹣3（舍），（3分）

由正弦定理得：（Ⅱ）由（Ⅰ）有：所以，，（9分）

．（6分）

，

13

由正弦定理得：．（12分）

（其他方法相应给分）

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

9.

【考点】正弦定理．

【分析】（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；

（2）易求角C，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；

【解答】解：（1）∵．

∴由正弦定理，得∴A=；

，∴C=π﹣A﹣B=，

，化简得cosA=，

（2）∵∠B=可知△ABC为等腰三角形，

在△AMC中，由余弦定理，得AM=AC+MC﹣2AC•MCcos120°，即7=解得b=2，

∴△ABC的面积S=b2sinC=10.

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】（Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；

（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长．

【解答】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=2，A=，BC=，

=．

，

222

14

由正弦定理可得，

即，

所以sin．

． 因为∠ACB为钝角，所以∠ACB=∴∠BCD=．…

（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+2CB．DC．cos∠BCD，

即BD2=（）2+（）2﹣2．（）．cos，

整理得BD=2．

在△ABC中，由余弦定理可知BC=+ABAC﹣2AB．AC．cosA，

即（）=2+AC﹣2.2．AC．cosAC+2=0．解得AC=22222+2，

．

﹣1．…

整理得AC2﹣2因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以AC=

11.

【考点】解三角形．

【分析】（Ⅰ）由同角的三角函数的关系求出sin∠ABC=，由正弦定理即可求出AC，

（Ⅱ）分别利用正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式即可求出．

【解答】解：（Ⅰ）：∵AB∥CD，∠ACD=∴∠BAC=∠ACD=∵tan∠ABC=﹣2∴sin∠ABC=﹣2，

，

cos∠ABC，

，

∵sin2∠ABC+cos2∠ABC=1，

∴sin∠ABC=，

15

由正弦定理可得=，

∴=，

∴AC=8，

（Ⅱ）∵AB∥CD，

∴∠BCD=π﹣∠ABC，

∴sin∠BCD=sin（π﹣∠ABC）=sin∠ABC=∴cos∠BCD=，

222，

由余弦定理可得BD=BC+CD﹣2BC•CD•cos∠BCD，

即81=36+CD﹣2×6×CD×解得CD=2+

+）=6+3．

2，

∴S△BCD=CD•BCsin∠BCD=×6×（2

12.

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【分析】（1）由已知利用配方法可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，从而可求a=b=c，即△ABC是正三角形．

（2）由已知可求AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理可解得CD=1，又BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD 【解答】解：（1）证明：∵a2+b2+c2=ab+ac+bc，

∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，

（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，

∴a=b=c ∴△ABC为等边三角形

（2）∵△ABC是等边三角形，BC=2CD，

16

∴AC=2CD，∠ACD=120°，

∴在△ACD中，

由余弦定理可得：AD=AC+CD﹣2AC•CDcos∠ACD，

可得：7=4CD2+CD2﹣4CD•CDcos120°，解得CD=1，

在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD===．

222

13.

【考点】三角形中的几何计算．

【分析】（Ⅰ）在△CBE中，正弦定理求出sin∠BCE；

222（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE=BE+CB﹣2BE•CBcos120°，得CB．由余弦定理222得CB=BE+CE﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC⇒sin∠BEC、cos∠AED在直角△ADE中，求得DE=2222，在△CED中，由余弦定理得CD=CE+DE﹣2CE•DEcos120°即可

【解答】解：（Ⅰ）在△CBE中，由正弦定理得，sin∠BCE=，

2222（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE=BE+CB﹣2BE•CBcos120°，即7=1+CB+CB，解得CB=2．

222由余弦定理得CB=BE+CE﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=．⇒sin∠BEC=，⇒cos∠AED=，

，

sin∠AED=sin（1200+∠BEC）=在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，⇒DE=2，

222在△CED中，由余弦定理得CD=CE+DE﹣2CE•DEcos120°=49

∴CD=7．

【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题

17

14.

【考点】三角形中的几何计算．

【分析】（Ⅰ）在△DBC中，由正弦定理得：弦定理得，

，在△ACD中，由正sin∠ADC=sin∠BDC，AD=DB，AC=2BC，得sin∠BCD=2sin∠ACD；

（Ⅱ）由sin∠BCD=2sin∠ACD=1，得∠BCD=90°，∠ACB=120°，

在△ABC中由余弦定理求得AB 【解答】解：（Ⅰ）在△DBC中，由正弦定理得：由正弦定理得，

，在△ACD中，即BCsin∠BCD=DBsin∠CBD，ACsin∠ACD=ADsin∠CDA．

∵sin∠ADC=sin∠BDC 又∵CD是AB边上的中线且AC=2BC，∴sin∠BCD=2sin∠ACD；

（Ⅱ）∵∠ACD=30°，由（Ⅰ）sin∠BCD=2sin∠ACD=1，即∠BCD=90°，∴∠ACB=120°，

由余弦定理15.

．（Ⅰ）f(x)3sinxcosxsin2x递增得到2k．

3111sin2xcos2xsin(2x)，

2226222x62k2,kZ，解得k6xk3,kz，

所以递增区间是[k（Ⅱ）f(A)由0A,k](kz)；

633sin(2A)1

，得到2A2kAk,kz，

266232得到A3，所以角BAD6, 由正弦定理得BDAD2，

sinBsinBADsinB2所以B16.

4，cosCcos(AB)sin3sin4cos3cos462．

4

18

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和两角和的正弦公式即可得到cosA=﹣，问题得以解决，

（Ⅱ）根据正弦定理和余弦定理即可求出答案．

【解答】解：（Ⅰ）2acosC﹣c=2b⇒2sinAcosC﹣sinC=2sinB，

2sinAcosC﹣sinC=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsinC⇒﹣sinC=2cosAsinC，

∵sinC≠0，

∴，

而A∈（0，π），

∴；

（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得，∴∴由余弦定理，，

．

17.

【考点】HP：正弦定理．

【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．

（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．

【解答】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为所以又因为，

．

，

．利用两

19

所以所以=．

．

…（7分）

（Ⅱ）在△ACD中，由，得．

所以．…（13分）

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．

18.

【考点】HR：余弦定理．

【分析】利用余弦定理，求出∠ACB=60°，∠ACD=120°，在△ACD中，AC=10，∠ADB=30°，∠ACD=120°，利用正弦定理可得结论．

【解答】解：在△ABC中，AB=10，AC=14，BC=6，

由余弦定理得所以∠ACB=60°，∠ACD=120°，

在△ACD中，AC=10，∠ADB=30°，∠ACD=120°，…8分

由正弦定理得，所以

…12分．

，

【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

19.

【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．

【分析】（I）分别在△ACD和△BCD中使用正弦定理，根据sin∠ADC=sin∠BDC和得出结论．

（II）利用（I）的结论可知，在△ABC中使用余弦定理解出BC．

20

【解答】解：（Ⅰ）在△ACD中，由正弦定理得：在△BCD中，由正弦定理得：∵∠ADC+∠BDC=π，∴sin∠ADC=sin∠BDC，

∵（Ⅱ）∵∴，∴，．

，

，∠ACB=α+β=2，

，

．

22设AC=2k，BC=3k，k＞0，由余弦定理得：AB=AC+BC﹣2AC•BC•cos∠ACB，

即解得k=1，∴BC=3．

20.

【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．

【分析】（1）利用正弦定理求出sin∠ADC的值，进而求出∠ADC的度数，即可求出∠B的度数；

（2）设DC=x，表示出BD，BC，以及AC，利用同角三角函数间的基本关系及余弦定理求出x的值，确定出DC的长即可．

【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得：由题意得：sin∠ADC=sin∠DAC=，

=，

，

∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，

∴∠ADC=120°，

∴∠B=60°；

（2）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，AC=在Rt△ABC中，sinB=∴cosB=，

）2=6x2+4x2﹣2×x×2x×，

=，AB=x，

x，

在△ABD中，由余弦定理得：（3解得：x=3，

则DC=3．

21

21.

【考点】三角形中的几何计算；正弦定理．

【分析】（Ⅰ）根据正弦定理以及余弦定理可得cosB=，即可求出B的值，

（Ⅱ）根据正弦定理和三角形的关系即可求出答案．

【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及sin2A+sin2C﹣sin2B=sinA•sinC可得，

a2+c2﹣b2=ac，

∴cosB==，

∵B∈（0，π），

（Ⅱ）由条件∠BAD=∠A﹣∠C，

由cos（A﹣C）=可得sin（A﹣C）=，

设AD=x，则CD=x，BD=11﹣x，

在△ABD中，由正弦定理得=，

故=，解得x=4﹣5，

所以AD=DC=4﹣5

22.

【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．

【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；

（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．

【解答】解：（Ⅰ）cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，…

因为∠D∈（0，π），所以sinD=，…

所以△ACD的面积S===．…

（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12，

所以AC=2．…

在△ABC中，BC=2，，…

22

把已知条件代入并化简得：所以AB=4．…

23.

【考点】余弦定理．

【分析】（1）利用△ABD的面积与△CBD的面积相等，即，即可求，

；

（2）利用余弦定理，AB2+AC2﹣2•AB•AC•cos∠A=BC2，解得AC=1，又因为D是AC的中点，所以，即可求出BD的长．

【解答】解：（1）因为BD是AC边上的中线，所以△ABD的面积与△CBD的面积相等，

即所以． …

（2）在△ABC中，因为AB=1，22，

，

2利用余弦定理，AB+AC﹣2•AB•AC•cos∠A=BC，解得AC=﹣2（舍）或AC=1，

又因为D是AC的中点，所以222，

在△ABD中，BD=AB+AD﹣2•AB•AD•cos∠A，

所以24.

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BAD，利用正弦定理即可求得AD的值． （2）由（1）可求AC=2AE=3，由余弦定理可求DC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

【解答】解：（1）在△ABD中，∵，

． …

23

∴，

∴，

由正弦定理，知．

（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，

在△ACD中，由余弦定理得AC=AD+DC﹣2AD•CDcos∠ADC，即，

∴DC2﹣2DC﹣5=0，解得∴（负值舍去）．

222，

从而25.(I) a5；(II) l1025．

试题分析：(I)由acosB3,bsinA4，两式相除，结合正弦定理可求得tanB．

4，又3acosB3，可得cosB0，求得cosB的值，即可求解边长a；(II)由（I）知sinB值．

4，利用三角形面积公式可求c，由余弦定理可求b，从而解得三角形的周长的5

24

考点：正弦定理与余弦定理．

26.

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）由正弦定理可得：，利用特殊角的三角函数值即可求值．

（2）利用三角形内角和可求C，由正弦定理可解得c的值，在△ABD中，由余弦定理即可解得AD的值，即可得解．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）△ABC中，∵A=，C=，∴B=π﹣A﹣C=，

∴由正弦定理可得： ===．…4分

（2）∵B=，b=2，A=，C=π﹣A﹣B=，

∴AB=BC，由正弦定理可得c=2，取BC中点D，

在△ABD中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2×AB×BD×cosB=7，

∴AD=27.

【考点】余弦定理；正弦定理．

，即BC边上的中线长为．…12分

25

【分析】（1）由已知及正弦定理可求，结合△BCD为锐角三角形，可求∠CDB，进而可求∠ADC的值，又DA=DC，利用等腰三角形的性质即可得解∠A的值．

（2）利用三角形面积公式可求BD的值，利用余弦定理可求得CD的值，进而可求AB=CD+BD的值．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）因为：在△BCD中，由正弦定理得所以：又因为：△BCD为锐角三角形，

所以：∠CDB=60°，

所以：∠ADC=120°，DA=DC，

所以：∠A=∠ACD=30°，∠A=30°．…

（2）因为：所以：所以：，

，

，

，

，

在△BCD中由余弦定理得：CD2=BD2+BC2﹣2BD×BCcos∠B=2+9﹣6=5，

所以：所以：28.

【考点】解三角形．

【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形．

【分析】（1）由题意在△BAC中由正弦定理可得AC；

（2）在△BAD中由正弦定理可得BD，由和差角公式可得cos75°，由余弦定理可得CD．

【解答】解：（1）由题意可得∠ACB=180°﹣（75°+30°+45°）=30°，

在△BAC中，由正弦定理可得AC=（2）在△BAD中，由正弦定理可得=5（+1）；

，

．…

BD==，

26

又cos75°=cos（30°+45°）=∴由余弦定理可得CD2=BC2+BD2﹣2BC•BDcos∠CBD

=100+[2×10×∴CD=5．

]﹣×2，

=100+25，

【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及正余弦定理和和差角的三角函数公式，属中档题．

29.（Ⅰ）BD

试题分析：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，易得AC5，从而有DC1，在BCD中，22由余弦定理，可得BD2BC2CD22BCCDcosC3123141010（Ⅱ）sinCDB

510332，即55BD410

5CDBD10，所以

sinCDB. sinCBDsinC10（Ⅱ）在BCD中，由正弦定理，得试题解析：（Ⅰ）解：因为

ABC90，AB4，BC3，

所以cosC34，sinC，AC5， ………………… 3分

55又因为AD4DC，所以AD4，DC1. ………………… 4分

在BCD中，由余弦定理，

得BD2BC2CD22BCCDcosC ………………… 7分

22 31231332，

55

所以

BD410. ………………… 9分

5CDBD，

sinCBDsinC（Ⅱ）在BCD中，由正弦定理，得4101所以

5， ………………… 12分

4sinCBD5

27

所以

sinCDB10. ………………… 13分

10考点：正余弦定理

30.见解析

考点：余弦定理

解：∵∴．

又∵，∴．

∵，，

∴．

（Ⅱ）∵，且，，，

∴，∴．

又∵，

∴．

又∵在中，

，

∴，即，

∴．

31.

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．

【分析】（1）利用tanC=﹣tan（A+B）=﹣1，求出内角C的大小，可得AB=为所求，求出sinA，再利用正弦定理即可求出最小边的边长．

，BC28

（2）由已知及（1）可得sinB=可得S△ABC=b=6absinC=，sinA=，sinC=，由正弦定理（2RsinA）×（2RsinB）×sinC=6，解得R的值，从而可求，a=4，利用余弦定理即可求得BD的值．

，tanB=，

【解答】解：（1）∵C=π﹣（A+B），tanA=∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣1，

又∵0＜C＜π，∴C=；

，最小边为BC，

22∴△ABC最大边为AB，且AB=由tanA=∵∴BC=AB•即最小边的边长为（2）由tanB=sinB=，

，sinC===，sinA+cosA=1且A∈（0，，

．

．

=，sinB+cosB=1且B∈（0，22），得sinA=．

），得由（1）可得：sinA=，

（2RsinA）×（2RsinB）×sinC=6，

=6，解得：R=2，∵由已知及正弦定理可得：S△ABC=整理可得：R×b=AC=2RsinB=6∴由余弦定理可得：BD==2absinC=××，a=2RsinA=4，

=．

29

【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力和转化思想，属于中档题．

32.

【考点】余弦定理；正弦定理．

【专题】方程思想；综合法；解三角形．

【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosA，可得A值；

（Ⅱ）由余弦定理和已知数据可得bc=6，由等面积可得据解方程可得．

【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由，

∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴∵在三角形中sinB≠0，∵0＜A＜π，∴；

，

，

，

及正弦定理可得，代入数（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可知∴12=b+c﹣bc=（b﹣c）+bc=6+bc，解得bc=6，

由等面积可得代入数据解得．

，

，

222【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式和等面积的方法，属中档题．

33.

【考点】正弦定理． 【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得到∠BDC，又由DA=DC，即可得到∠A；

（Ⅱ）由于△BCD面积为

，得到

•BC•BD•sin CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos =，得到BD，再由余弦定理得到，再由DA=DC，即可得到边AB的长．

30

【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，B=，BC=1，DC=，

由正弦定理得到：，

解得sin∠BDC==，

则∠BDC=或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC=．

又由DA=DC，则∠A=．

（Ⅱ）由于B=，BC=1，△BCD面积为，

则•BC•BD•sin=，解得BD=．

再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos

=1+﹣2××=，

故CD=，

又由AB=AD+BD=CD+BD=，

故边AB的长为：．

【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，属于中档题．

34.

【考点】余弦定理的应用． 【专题】解三角形．

【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，

∴sin∠ADC====，

则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．

31

（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，

在△ABC中，由余弦定理得AC=AB+CB﹣2AB•BCcosB=8+5﹣2×8×即AC=7．

22222=49，

【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．

35.

【考点】解三角形；三角形中的几何计算． 【专题】数形结合．

【分析】由余弦定理求得BD，再由正弦定理求出BC的值．

【解答】解：在△ABD中，设BD=x，则BA=BD+AD﹣2BD•AD•cos∠BDA，

即142=x2+102﹣2•10x•cos60°，整理得：x2﹣10x﹣96=0，

解之：x1=16，x2=﹣6（舍去）．

由正弦定理得：∴．

，

222

【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，一元二次方程的解法，求出BD的值，是解题的关键．

36.

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．

【解答】解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，

由余弦定理得cos∠ADC=∴∠ADC=120°，∠ADB=60°

在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，

=，

32

由正弦定理得，

∴AB=．

【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用．属基础题．

37.

考点：

余弦定理；正弦定理．

专题：

三角函数的求值；解三角形．

分析：

（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a+c﹣b，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．

（Ⅱ）由已知可求∠DAC=3sinB=2sinC，由B=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得222﹣C化简即可得解．

22222222解答：

解：（Ⅰ）因为2accosB=a+c﹣b，所以2（a﹣b）=a+c﹣b+bc．…（2分）

整理得a=b+c+bc，所以cosA=﹣，即A=（Ⅱ）因为∠DAB=在△ACD中，有222．…（4分）

．…（6分）

，所以AD=BD•sinB，∠DAC==，又因为BD=3CD，

所以3sinB=2sinC，…（9分）

由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）

．…（12分）

整理得tanC=点评：

本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．

38.

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．

【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值．

33

（Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，利用三角形面积公式即可得解．

【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），

所以sin∠ADB=根据正弦定理，有﹣﹣﹣﹣﹣

代入AB=8，∠A=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．

解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）

=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．

39.

考点：三角形中的几何计算． 专题：计算题；解三角形．

分析：（1）运用余弦定理，解出CD=1，再解直角三角形ADB，得到AE=1，再由面积公式，即可得到△ACE的面积；

（2）在△ACE和△CDE中，分别运用正弦定理，求出CE，及sin∠CDE，再由诱导公式，即可得到∠DAB的余弦值．

解答：

解：（1）在△CDE中，CD==解得CD=1，

在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1，

，

34

S△ACE=

==；

（2）设CD=a，在△ACE中，CE=在△CED中，=（=）a，

=，

，sin∠CDE=

==﹣1，

﹣1．

则cos∠DAB=cos（∠CDE﹣90°）=sin∠CDE=点评：本题考查解三角形的运用，考查正弦定理和余弦定理，及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．

35