一 数学归纳法教学内容

数

学

归

纳

法

教

学

设

计

一、教材分析：数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中的第五条，“数学归纳法”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书

数学（选修2-2）》中的第2章推理与证明中的第三单元，数学归纳法的学习，计划利用2个课时学习，本节课是数学归纳法的起始课，主要是理解数学归纳法，并初步利用数归解决简单的数学问题，数学归纳法属于直接证明，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明．在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用，

应用数学归纳法(证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法)证明命题的步骤：

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值（2）（归纳递推）假设当题也成立；

根据（1）和（2），可知命题对于从二、学生分析：

学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”．这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础．因此，教学中通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质．

三、教学目标：

1、知识与技能：①借助具体实例归纳出数学归纳法的定义和步骤；

②了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．

2、过程与方法: ①观察多米诺骨牌试验，体验数学归纳法的发现过程; ②借助例2尝试利用数学归纳法解决数学问题

3、情感态度与价值观：

①通过对数学归纳法原理的探究，养成严谨的科学态度和勇于探索的精神；

②通过置疑与探究，体验类比的思想，逐步形成独立的人格与敢于创新的精神， 四、教学重点和难点：

开始的所有正整数都成立．

时命题成立；

时命题成立，证明当时命

1

重点：

数学归纳法教学的重点是借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题．

难点：学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；

五、教学方法：讲授法

讨论法 六、教学设计

1.从思考题中引入课题

（1）、已知数列

an

的通项公式为an(n25n5)2（1）求出其前四项（2）你能得到什么样的猜想？

猜想一定正确吗？

a1,a2,a3,a4，（2）、已知数列an，

a11,an1an(n1,2,3,4...)（1）求出其前四项1an（2）你能得到什么样的猜想？猜想一定正确吗？

a1,a2,a3,a4，分析：逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学归纳法”．

【设计意图】

应用归纳推理，发现新事实，获得新结论，这是数学归纳法的先行组织者；该思考题出现在本章第一节的合情推理中，是课标教材“螺旋式”上升的具体体现，其思维模式就是“观察——归纳——猜想——证明”．

2.体会多米诺骨牌游戏中蕴含的数学思想

利用flash软件，动态地演示多米诺骨牌游戏

【设计意图】

通过对多米诺骨牌游戏的分析，让学生经历从具体到抽象的归纳和概括过程，从而理解数学归纳法的本质.在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件，同时第块骨牌倒下，必然导致第k1骨牌倒下，这是所有骨牌都倒下的保证，也就是多米诺骨牌游戏的连续性．

2

设问问题：

多米诺骨牌游戏与前面所提到的要解决的问题有相似性吗？能否类比多米若骨牌游戏来解决你的猜想是正确的？

【设计意图】

在类比的过程中学习数学归纳法.

分析1：根据“第一块骨牌倒下”抽象出数学归纳法的第一步，即（1）（归纳奠基）证明当取第一个值(,例如=1或)时,命题成立.

分析2：根据“任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下”，抽象出数学归纳法的第二步，即（2）（归纳递推）假设当时命题也成立.

分析3：从完成“多米诺骨牌游戏”中，抽象出数学归纳法证明命题的结论，即由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都成立.

时命题成立,证明【设计意图】

抽象出“多米诺骨牌游戏”的本质.

3.数学归纳法概念的形成

数学归纳法: 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题,我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：

（1）（归纳奠基）证明当取第一个值成立；

（2）（归纳递推）假设也成立；

根据（1）和（2），可知命题对于从4、数学归纳法的应用

n2(,例如=1或)时,命题时命题时命题成立,证明当开始的所有正整数都成立.

例1.用数学归纳法证明“2n1,对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明的起始值n应取（

）A.2

B.3

C.5

D.6 【变式1】若f(n)1111，则n1时f(n)（

）

232n1111A.1

B.

C.1

D.以上都不对

323

【设计意图】数学归纳法第一步中的“第一个数”不一定就是“1”，

也可能是“2”或其它数，要根据题意准确选择．当取第一个值位

例2.用数学归纳法证明：13（2n1)n(nN)

3 2时，左边的式子要认识到

【变式2】 例2的如下证明对吗？

135(2n1)n2(nN)

证明：（1）当n1时，左边=1，右边=11，等式成立

（2）假设n=k时命题成立，即

135(2k1)k21

那么 135(2k1)[2(k1)1]

2[12(k1)1](k1)

2(k1)2

即当n=k+1时等式也成立

根据（1）和（2），可知等式对nN都成立

【变式3】

试判断下列用数学归纳法证明过程是否正确？

135(2n1)n1(nN)

证明：假设n=k时命题成立，即

135(2k1)k1

那么 135(2n1)(2k1)

k1(2k1)

222k22k11

(k1)21

即当n=k+1时等式也成立

可知等式对任何nN都成立. 【想一想】

(1) 第一步，是否可省略？ (2) 第二步，是否可省略？

(3) 第三步，是否可省略？

【小结2】

4 

【变式4】用数学归纳法证明

1222232n12n1(nN)

【设计意图】

例2是教材P96A.1.(2)中的一道习题，变式2是对例2证明方式的变化，变式3是对例2结论的变化，通过反问，让学生真正意识到在证明命题时“两个步骤和一个结论”缺一不可，

缺了第（1）步，就没有了归纳奠基；缺了第（2）步，就丧失了归纳递推的过程；缺了结论，整个数学归纳法的过程就不能顺利完成. “两个步骤和一个结论”缺一不可；变式4是数归的应用。

总之，由于本节课教学的难点是：学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明，因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设，如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，直接将代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明．因为从“n=k到n=k+1”的一般性递推，可以看成一个独立的命题，这样有利于突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．关于这个难点，下节课还要重点的研究，在本节课中，为突破以上教学难点，课堂教学中两条线索交替进行．一条是主线：“提出问题——分析问题——解决问题”；另一条是暗线：“课堂提问的规则——根据学号提问，并依次从小号到大号”．在这个过程中，让学生体会数学归纳法证明命题的第一步的第一个值不一定是1，就如同第一个被提问到的学生不一定是1号的学生一样．若是2号，则下一个被提问的学生一定是3号．

利用flash软件，动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．另外，在课堂练习时，选择学生中有代表性的解法，利用实物投影进行分析讲解，增强课堂教学效果．因为数学来源于生活，将数学生活化，通过列举生活中的多米诺骨牌现象，增强课堂教学的趣味性

十、

板书设计

数学归纳法

1、

数学归纳法的概念：

2、

应注意的问题：

3、

应用

例1

变式1

例2

变式2

变式3

变式4 4、小结

十一、教后反思：

成功的经验

5

改进的地方

6