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不等式的证明

教学目标

（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；

（2）掌握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式；

（3）能灵活根据题目选择适当地证明方法来证不等式；

（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；

（6）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力；

教学建议

（一）教材分析

1．知识结构

2．重点、难点分析

重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；

难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；

②综合性问题选择适当的证明方法．

（1）不等式证明的意义

（2）比较法证明不等式的分析

（4）分析法证明不等式的分析

（5）关于分析法与综合法

（二）教法建议

①选择例题和习题要注意层次性．

②在教学过程中，应通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中积极参与．

③学生素质较好的，教师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过多过难．

第一课时

教学目标

1．掌握证明不等式的方法——比较法；

2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．

教学重点

比较法的意义和基本步骤. 教学难点

常见的变形技巧. 教学方法

启发引导式. 教学过程

（－）导入新课

（教师活动）教师提问：根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数

与

的大小？．

（学生活动）学生思考问题，找学生甲口答问题．

（学生甲回答：

，

，

，）

［点评］（待学生回答问题后）要比较两个实数

考察

与

的大小，只要与

的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．（板书课题）

设计意图：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

（教师活动）教师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目

[问题] 求证

教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．

（学生活动）学生研究证明不等式，尝试完成问题．

（得出证明过程后）

［点评］

①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．

②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．

③理论依据是：

④由

证

，

，知：要证明

只要；要证明

这种证明不等式的方法通常叫做比较法．

设计意图：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．

例1 求证

（学生活动）学生在教师引导下，研究问题．与教师一道完成问题的论证．

［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得

，将此式看作关于

的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．

证明：∵

＝

＝

，

∴

．

［点评］

①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号．

②作差后，式于符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定．

③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断．

变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．至于怎样变形，要灵活处理，例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．

例2

已知都是正数，并且

，求证：

［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．

证明：

＝

＝

．

因为

都是正数，且

，所以

．

∴

．

即：

[点评]

①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号．

②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法．

③例2的结论反映了分式的一个性质（若都是正数．

1．当

时，

2．当

时，

．以后要记住．

设计意图：巩固用比较法证明不等式的知识，学会在用比较法证明不等式中，对差式变形的常用方法——配方法、通分法．

【课堂练习】

练习：1．求证

2．已知

，

，

，d都是正数，且

，求证

（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

设计意图，掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教学活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法．用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断符号．要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的方法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

本节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．掌握求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法．并在下节课继续学习对差式变形的常用方法．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

1．课本作业：P16．1，2，3．

2．思考题：已知

，求证：

3．研究性题：设

证：

，

，

都是正数，且

，求设计意图，课本作业供学生巩固基础知识；思考题供学有余力的学生完成，培养其灵活掌握用比较法证明不等式的能力；研究性题是为培养学生创新意识．