信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响公开课教案

学习目标

1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．

知识点一

正态曲线

1思考

函数f(x)＝e2πσ(x)222，x∈R的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．

答案

由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为图象的对称轴为x＝μ，

∴μ＝72，且11＝，∴σ＝10. 2πσ102π(x72)2200，由函数表达式可知，函数102π11∴f(x)＝e102π(x∈R)．

梳理

(1)正态曲线

函数φμ，σ(x)＝1e2πσ(x)222，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值1；

σ2π④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：

知识点二

正态分布

一般地，如果对于任何实数a，b(a

知识点三

3σ原则

1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

(1)P(μ－σ

(2)P(μ－2σ

(3)P(μ－3σ

类型一

正态曲线的图象的应用

例1

如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体均值和方差．

1解

从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，

2π

所以μ＝20.由11＝，解得σ＝2. 2πσ2π1(x20)24于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝e2π，x∈(－∞，＋∞)，

随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. 反思与感悟

利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为便可求出相应的解析式．

2跟踪训练1

设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则1.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中2πσ有(

)

A．μ1<μ2，σ1<σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2

答案

A 解析

根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线；当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓，反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭可求解．故选A. 类型二

利用正态分布的对称性求概率

例2

设X～N(1,22)，试求：

(1)P(－15)．

解

因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1

1所以P(3

21＝[P(1－4

21＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 2B．μ1<μ2，σ1>σ2

D．μ1>μ2，σ1>σ2

11(3)P(X>5)＝P(X≤－3)＝[1－P(－3

本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X

解

因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的正态曲线关于x＝1对称．又P(X>c＋1)＝P(X

利用正态分布求概率的两个方法

(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：

①P(X

②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．

(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解．

跟踪训练2

(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(

) A．0.6

B．0.4

C．0.3

D．0.2 答案

C 解析

∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，

∴μ＝2，对称轴是x＝2. ∵P(ξ<4)＝0.8，

∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，

∴P(0<ξ<4)＝0.6，

∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C. (2)设X～N(6,1)，求P(4

解

由已知得μ＝6，σ＝1. ∵P(5

P(4

P(4

1∴P(4

2

1＝×0.271 8＝0.135 9. 2类型三

正态分布的应用

例3

设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．

解

由题可知μ＝110，σ＝20，

P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，

∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ) ＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，

∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7，

∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ) ＝1－0.158 7＝0.841 3. ∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45. ∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，

∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，

∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7. ∴54×0.158 7≈8(人)，即130分以上的人数约为8. 反思与感悟

解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．

跟踪训练3

有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：

(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；

(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？

解

(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，

∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，

∴尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.26%. (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，

∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.74%，而尺寸在16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.44%. 99.74%－95.44%∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%. 2因此尺寸在24～26mm间的零件大约有5 000×2.15%≈107(个)．

1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是(

)

A．甲科总体的标准差最小

B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的标准差及平均数都居中

D．甲、乙、丙总体的平均数不相同

答案

A 解析

由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A. 12．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则2μ等于(

) A．1

B．2

C．4

D．不能确定

答案

C 11解析

因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝2211－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4. 23．已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有(

) A．997人

B．972人

C．954人

D．683人

答案

C 解析

依题意可知μ＝90，σ＝15，故P(60

1－2，，则X落在(－3.5，－0.5]内的概率是(

) 4．设X～N4A．95.44%

C．4.56%

B．99.74% D．0.26%

答案

B 11－2，知，μ＝－2，σ＝，则P(－3.5

由X～N4211－2－3×

解

对称轴为X＝0，故P(X≤0)＝0.5，

P(－2

1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质．

2．正态总体在某个区间内取值的概率求法

(1)熟记P(μ－σ

(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．

①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．

②P(X

1－Pμ－b

一、选择题

11．若随机变量X的概率分布密度函数是f(x)＝·e22π(x1)28，x∈(－∞，＋∞)，则E(2X＋1)的值是(

) A．5

B．9

C．3

D．2 答案

C 1解析

由f(x)＝·e22π(x1)28知，μ＝1，

∴E(X)＝1，∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3. 2．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤c)＝P(ξ>c)，则c的值为(

) A．0

B．μ

C．－μ

D．σ

答案

B 解析

由正态分布密度曲线的性质知，曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，且曲线与横轴之间的面积为1，则有c＝μ. 3．如图所示的是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，

σ3的大小关系是(

)

A．σ1>1>σ2>σ3>0

C．σ1>σ2>1>σ3>0

答案

D 解析

当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝1e2πx22B．0<σ1<σ2<1<σ3

D．0<σ1<σ2＝1<σ3

在x＝0处取最大值1，故σ2＝1.由正态2π曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D. 4．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于(

) A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4 答案

A 1解析

∵X～N(0，σ2)，∴μ＝0.又∵P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(X>2)＝(1－0.4×2)＝0.1. 225．设X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ2)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(

)

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)>P(Y≥t) 答案

C 解析

由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)

P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错；

当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，

而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，

∴P(X≥t)

6.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(

)

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，

P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4. A．2 386

B．2 718

C．3 413

D．4 772 答案

C 解析

由X～N(0,1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6，

1∴P(0≤X≤1)＝×0.682 6＝0.341 3，故S≈0.341 3. 2xS∴落在阴影部分中点的个数x的估计值为＝，∴x＝10 000×0.341 3＝3 413，故选C. 10 00017．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是(

)

A．997

B．954

C．819

D．682 答案

D 解析

由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，

故P(58.5

从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈682. 8．若随机变量X的密度为f(x)＝p1，p2，则p1，p2的关系为(

) A．p1>p2

C．p1＝p2

答案

C 解析

由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2. 二、填空题

9．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ>3)＝P(ξ＜－1)，则E(ξ)＝________. B．p1

D．不确定

1e2πx22，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为

答案

1 解析

根据题意ξ～N(μ，σ2)，

3＋－1∴μ＝＝1，

2∴E(ξ)＝μ＝1. 10．已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝1e2π(x1)22，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的极值点为________，X落在区间(2,3]内的概率为________．

答案

x＝1

0.135 9 解析

由正态分布的概率密度函数，知μ＝1，σ＝1，所以总体分布密度曲线关于直线x＝1对称，且在x＝1处取得最大值．根据正态分布密度曲线的特点可知x＝1为f(x)的极大值点．由X～N(1,1)知，P(2

111[P(－1

答案

229 解析

依题意，P(60－20

1P(X>80)＝(1－0.954 4)＝0.022 8，

2故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228. 所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．

三、解答题

12．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72

(2)求P(64＜X≤72)．

解

(1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，

在(80，＋∞)上是减函数，

所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80. 又P(72

＝0.954 4. 又因为P(X≤64)＝P(X>96)，

11所以P(X≤64)＝(1－0.954 4)＝×0.045 6＝0.022 8. 22所以P(X>64)＝0.977 2. 1又P(X≤72)＝[1－P(72

21＝×(1－0.682 6)＝0.158 7，

2所以P(X>72)＝0.841 3，

P(6464)－P(X>72)＝0.135 9. 113．工厂制造的某零件尺寸X服从正态分布N(4，)，问在一次正常试验中，取10 000个零9件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有多少个？

1解

不属于区间(3,5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3

所以不属于(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有26个．

四、探究与拓展

14．对于总体密度曲线是函数f(x)＝1e2πσ(x)222，x∈R的图象的正态总体有以下问题：

①正态曲线关于直线x＝μ对称；②正态曲线关于直线x＝σ对称；③正态曲线与x轴一定不相交；④正态曲线与x轴一定相交，其中正确的命题是(

) A．②④

C．①③

答案

C 解析

利用正态函数图象的基本特征判断．

15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．

B．①④

D．②③

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布，求P(187.8

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．

附：150≈12.2. 解

(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为

x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150. (2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8

所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.