1.3 二项式定理（通用）教学设计(教案)

《二项式定理》教学设计

永善县第一中学 文东 一、教学内容解析

《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。

二、学情分析

学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课

1

二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。

三、教学目标设置

1.知识技能目标

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。

（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。

2.过程与方法目标

通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。

3.情感、态度、价值观目标

培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨。

四、教学重点、难点

重点：用两个计数原理分析(ab)3的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。

难点：用两个计数原理分析推导(ab)3的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。

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五、教学过程

教学程序

问 题

引出问题：如果今天是星期五，14天后的这一天是星期几呢？23天后的这一天呢？

师生归纳：比如23=7×3+2，所以23天后是星期日。

算法：用各个数除以7，看余数是多少，

再用五加余数来推算

师：再过82016天后是星期几，你知道吗？

不方便求出82016除以的余数，可以利用8=7+1，得到82016=(7+1)2016=? 如果不用计算器的话,此时就需要研究设计意图

师生活动

提出问题激发学生探索让学生用计欲望，并引出算器计算

课题

(ab)n?(nN*)

从特殊开始

由(a+b)=a+b

(a+b)2=(a+b)×(a+b)=a2+2ab+b2; (a+b)=(a+b)×(a+b)=? 321体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。

与学生一同计算，得到计算结果，为后面做铺垫。

33223结果：

(ab)a3ab3abb创设问题探究一：通过组合思想来分析(a+b)3的展开情境

式(ab)3(ab)(ab)(ab)

展开后

引入①项的形式为：a3,a2b,ab2,b3

新课

②项的系数，考虑b，

a3：每个都不取b的情况有1种，即C3 ,0则a3前的系数为C

恰有1个取b的情况有C3种，则a2b前a2b：的系数为C

恰有2个取b的情况有C

种，则b前ab：2203考察学生对1学生说出自己的思路，老师做分析与讲解为后面猜想做铺垫。

因式展开的各项形式及系数的理解。

1323的系数为C3

b3：恰有3个取b的情况有C3

种，则b3前32的系数为C3所以

303122233

(ab)C3aC3abC3abC3b

3

3

学生先观察总结特点：

1.项数是指探究二：观察展开式中的项数、指数变化以数加1；

及系数变化，你发现了什么？由此猜想（a+b）让学生通过2.字母a按降4

,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数特例去观察幂排列，字母变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。

相同之处与b按照升幂排回答：

不同之处，以列，二者指数及不同之处之和是二项0413222344

(ab)4C4aC4abC4abC4ab3C4b的处理方法，式指数；3、0n1n1(ab)nCnaCnabnnCnb(nN*)

rnrrCnab

从而提出猜每一项的系想。

数有上面的问题2给出，这很好的突破了本节的难点。

探究三：

对于猜想(ab)n1n1Cn0anCnabCn2an2b2...

rnrrnnCnab...Cnb我们如何进行证明呢？

师生讨论证让学生体会明思路，通过

利用组合思阅读课本上想从特殊到的证明过程，一般，对猜想老师最后做给出严谨的出方法归类，理解如何用明的思路。并“说理”的方留下课下演式阐述证明练二项式定过程。

理的数学归纳法证明。

证明：每个(ab)(ab)n是n个(ab)相乘，在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是anrbr(r0,1,n)的形证明过程。并提示学生证式，对于每一项anrb，它是由r个(ab)选r了b，n－r个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取r个b的组r合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

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观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？

(1)项：二项展开式共有n1项；

(2)次数：各项的次数都等于n；

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n 思考(3)二项式系数：C(k{0,1,2,,n})

kn学生继续总结这三点，以考察学生的强化已有的观察力，以及认识，同时老分析问题的师强调：二项能力。

式系数，与二项展开式系数的区别。

对二项式定理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式。

学生自主完成，老师进行检查，通过投影仪将学生的结果进行展示，错误时做出点拨与分析。

学生提出解决思路，老师破解疑惑让点评分析，怎学生感受计么才能被7整观察

(4)二项展开式的通项：T=Ckankbk

k1n

学习特殊的情况

新课

1.用-b代替b. （ab）的展开式

写出n

2.令a=1,b=2x. 5（12x）写出的展开式

今天是星期五, 再过82016天后是星期几，你知道吗？

破解疑惑

82016(71)2016

C201672016C20167201501C201520167C2015201620162016

算的简单与除好计算呢?快捷，增强对联想二项式数学学习的定理的表达热情，

形式，问题得到解决，留为课下计算。

熟悉二项式定理，以及对教师板演过二项式系数，程，给学生以展开式系数，示范，为后面7(C2016702015C1201672014C)1

即82016除以7余数是1。 故再过82016天后的那一天是星期六。 5精讲再探索对于（12x）的展开式

精析

思考1：展开式的第2项的系数是多少？

思考2：展开式的第2项的二项式系数是多巩固少？

以及x的系数步骤的整洁新知

思考3：你能否直接求出展开式的第2项？ 问题的理解做铺垫。

与记忆。

5

熟悉二项式定理，二项式课堂练习

反馈6练习

2、求(y2x)的展开式的第三项

系数，二项展学生自主练开式系数，以习，反馈教学及通项的初效果，老师巡步应用，理解视做个别辅二项式展开导。

式的项的顺序。

学生说，教师让学生回顾课件演示，并1、求(2xy)6的展开式的第三项

课堂本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的本节要点，观强调：二项式小结

呢？在学习这部分知识时要注意什么呢？

察学生掌握系数与二项情况。

展开式系数的区别。

课本37页

习题1.3 A组 2、4 布置

作业

课后探究：用数学归纳法证明二项式定理

让学生巩固本节课的所学内容和知识。

六、板书设计

1.3.1二项式定理

0n1n1rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)例题1 例题2 练习1 练习2 作业：课本37页

习题1.3 A组 2、4 课后探究：用数学归纳法证明二项式定理

（根据课堂教学活动的推荐，反复使用。） (1)项：二项展开式共有n1项；

(2)次数：各项的次数都等于n；

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n (3)二项式系数：C(k{0,1,2,,n})

knkk(4)二项展开式的通项：Tk1=Cnab

kn

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