1.3 二项式定理（通用）优秀公开课教案

第3讲

二项式定理

[最新考纲] 1．能用计数原理证明二项式定理．

2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

知

识

梳

理

1．二项式定理

二项式定理

0n1n－1rn－rrnn(a＋b)＝Cna＋Cnab＋…＋Cnab＋…＋Cnb(n∈N*) n二项展开式

的通项公式

rn－rrTr＋1＝Cnab，它表示第r＋1项

二项式系数

01n二项展开式中各项的系数Cn，Cn，…，Cn

2.二项式系数的性质

(1)0≤k≤n时，Cn与Cn的关系是Cn＝Cn. (2)二项式系数先增后减中间项最大

nn当n为偶数时，第2＋1项的二项式系数最大，最大值为C2n；当n为奇数时，第n＋1n＋3n－1n＋12项和2项的二项式系数最大，最大值为C2n或C2n. kn－kkn－k(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2n，

Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2n－1.

[感悟·提升] 1．二项式定理(a＋b)n＝Cnan＋Cnan－1b＋…＋Cnan－rbr＋…＋Cnbn(n∈N*)揭示二rn－rr项展开式的规律，一定牢记通项公式Tr＋1＝Cnab是展开式的第r＋1项，不是01rn024135012n第r项．

2．二项式系数与展开式项的系数的异同

rn－rrr一是在Tr＋1＝Cnab中，Cn是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个r不同的概念，前者只指Cn，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负，两个概念的区别．

二是二项式系数的最值与增减性与指数n的奇偶性有关，当n为偶数，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．

考点一

通项公式及其应用

【例1】

(1)(2013·浙江卷)设二项式x5的展开式中常数项为A，则A＝________. (2)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于( )．

A．－4

B．－3

C．－2

D．－1 答案

(1)－10

(2)D 规律方法

(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

【训练1】

(1)(2013·大纲全国卷改编)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________．

a6(2)设二项式x(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值3是________．

考点二

二项式系数的性质与各项系数和

【例2】

(1)(2014·青岛模拟)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是( )．

A．15x2

B．20x3

C．21x3

D．35x3

(2)若xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中x2的系数为________．

11

审题路线

(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．

(2)根据二项式系数性质，由Cn＝Cn，确定n的值，求出x2的系数．

答案

(1)B

(2)56 规律方法

(1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；第(2)小题在求37解过程中，常因把n的等量关系表示为Cn＝Cn，而求错n的值．

261(2)求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1. 【训练2】

(1)二项式x2n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )．

A．180

B．90

C．45

D．360 (2)若(1－2x)2014＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2014x2014(x∈R)，则2＋22＋23＋…＋22014的值为________．

答案

(1)A

(2)－1 考点三

二项式定理的应用

【例3】

(2012·湖北卷)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝( )．

A．0

B．1

C．11

D．12 答案

D 规律方法

(1)本题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．

(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．

【训练3】

1－90C10＋902C10－903C10＋…＋(－1)k90kC10＋…＋9010C10除以88123k10a1a2a3a20142

的余数是( )．

A．－1

B．1

C．－87

D．87 答案

B

kn－kk1．二项展开式的通项Tk＋1＝Cnab是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．

2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．

3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．

【自主体验】

(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．

解析

(1＋2x)3(1－x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C3(2x)0·C4(－x)1＋C3(2x)1·C414(－x)0，其系数为C3·C4(－1)＋C3·2＝－4＋6＝2. 答案

2

1001101