正弦、余弦、正切函数的简单应用第一课时教学实录

28.2.1 解直角三角形

一、教学目标

（一）知识与技能

使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角，边与边，边与角的关系解直角三角形；

（二）过程与方法

引导学生通过探究与讨论发现解直角三角形所需要的最简条件，使学生了解体会用化归思想将未知问题转化为已知问题去解决；

（三）情感态度与价值观

通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数形结合”思想和“数学建模”思想。

二、教学重难点

教学重点：掌握解直角三角形的一般方法；

教学难点：选择适当的关系式，灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

三、课时安排

28.2.1 解直角三角形 1课时

四、教学过程

（一）创设情境，引入新课（约5分钟）

问题1 意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍然屹立，但塔顶中

心点偏离垂直中心线增至5.2 m，而且还以每年增加1 cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8 cm．

如果要你根据上述信息，用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜度，你能完成吗？

师生活动：学生思考，教师引导学生将实际问题转化为数学问题，建立模型，画出图形，标出已知量和未知量．

【设计意图】从实际情境中引出解直角三角形，建立数学模型，将实际问题抽象数学问题．

（二）共同探究，获取新知（约10分钟）

问题2 （1）直角三角形除直角外的五个元素有哪些？有几类？这些元素之间有几类关系？

（2）直角三角形边与边的关系有哪些？直角三角形边与角的关系有哪些？直角三角形中角与角的关系有哪些？

三边之间的关系：a2b2c2

边角之间的关系：sinA=，cosA=，tanA=

角角之间的关系：A+B=90

（3）问题（2）中，只知道角可以求出其他元素吗？只知道边可以求出其他元素吗？

（4）想一想至少要知道几个条件才能解直角三角形？

师生活动：学生独立思考，弄清这是一个关于解直角三角形的问题，回忆勾股定理、三角函数及直角三角形两个锐角互余，它们分别体现了直角三角形中哪些元素之间的关系，尝试借助这些关系解直角三角形． 归纳总结：在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素只要知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素. 存在两种情况：（1）已知两条边，求第三边和两个锐角；

（2）已知一边一角，求另一边和另一角. 【设计意图】让学生通过探究看到：若已知直角三角形的某两个元素，这个直角三角形就能

确定下来，可以利用这两个条件求出其他的元素，并且这两个元素至少有一条边．在探究的过程中体会勾股定理解决边与边的关系，三角函数解决边与角的关系，直角三角形两个锐角互余，在解直角三角形的过程中，要根据所需适当变形，得到其他的未知量．

（三）新知应用，解决问题（约15分钟）

例（1）在Rt△ABC中，∠C=90，AC=2，BC=6，解这个直角三角形．

acbcab

（2）在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=35，b=20，解这个直角三角形．（结果保留小数点后一位）

师生活动：教师先让学生观察这两个例题的异同，再让学生分别解这两个直角三角形，最后总结解直角三角形实际上就是求两类问题：一是已知两边；二是已知一边和一角．让学生在独立思考的基础上进行交流展示，教师对学生中出现的不同解法给予点评，并规范书写过程．

【设计意图】分别给出已知一角一边和已知两边解直角三角形的例题，发散学生思维，让学生选择不同的方法解直角三角形，在对比各种方法后体会如何灵活运用边角的关系解直角三角形．

（四）巩固新知，学以致用(约8分钟)

在Rt△ABC中，∠90°，根据下列条件解直角三角形

（1）c=30，b=20；

（2）∠B=60°，c=14；

（3）∠B=45°，a=7. （五）反思小结，形成方法（约2分钟）

教师与学生一起回顾本课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）直角三角形五个要素之间有哪些关系？

（2）在解直角三角形可以分为几种类型？应如何选择适当的关系解直角三角形？

【设计意图】通过小结，使学生梳理本节课所学内容，巩固解直角三角形所用到的数量关系，进一步灵活选择适当的关系解直角三角形．

（六）布置作业

教科书第77页习题28.2第1题、第2题．

五、板书设计

28.2.1 解直角三角形（1） 引入：

28.2.1 解直角三角形（1） 引入：

bb22cc22

abaaba边角关系：sin，cos，tan 例：

sinAA=，cosAA=，tanAA= 边角关系：例：

===ccbccbAA++BB=90=90

角角的关系：

角角的关系：a三边关系：a三边关系：存在两种情况：（1）已知两条边，求第三边和两个锐角；

存在两种情况：（1）已知两条边，求第三边和两个锐角；

（2）已知一边一角，求另一边和另一角. （2）已知一边一角，求另一边和另一角. 22

六、教学反思

解直角三角形是《义务教育数学课程标准（2011年版）》“图形与几何”领域的内容，是在学习锐角三角函数的基础上学习解直角三角形的方法．不但体现了三角函数的应用而且进一步完善了直角三角形的有关知识，对有关几何的运算和推理证明提供了有力的工具和建模，在直角三角形中，勾股定理反映了三边之间的关系，三角形内角和反映了三个角之间的关系，而锐角三角函数反映了边角

之间的关系，通过本节课的学习，学生理解直角三角形中各个元素之间的关系，并利用这些关系解直角三角形。本节重点研究解直角三角形的意义以及一般方法．直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系，正确选用这些关系，是正确、迅速的解决直角三角形的关键。解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用。因此，在处理例题时，首先，应让学生独立完成，培养学生分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想。

通过本节课教学，我觉得教学目标定位准确恰当。结合课程标准，在对教材深入钻研的基础上，制定了以“会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形”作为本节课的核心目标，渗透数形结合和数学建模的思想等，培养学生良好的学习习惯。结合课堂教学，我个人认为教学目标达成度是比较高的。

本节课的设计，力求体现新课程理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中，我并没有过多地干预学生的思维，而是通过问题引导学生自己想办法解决问题，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，而后选择了一种解法进行板演。在培养学生的语言表达能力上下了功夫。

通过本节课的实践，我觉得也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。比如，在探讨解直角三角形的依据时，处理得有些过于仓促，讲话语速太快，影响学生的思考时间，有些问题应该放手让学生自己去想，效果会更好。又如，课堂总结时，总想把现成的规律性结论用学生喜欢的形式告知他们，忽视了学生的亲身体验与感受。在今后的教学中，我将更多地关注学生的发展与提升，注意以学生的思维为发展目标。