小结优质公开课教案

《不等式小结》

教学设计

黄梅县第三中学

汪亚洲

一．知识体系：

二．类型一:不等关系与不等式的性质

不等式的主要性质：

(1)对称性：abba. (2)传递性：ab,bcac. (3)加法法则：abacbc；ab,cdacbd. (4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc. ab0,cd0acbd. (5)倒数法则：ab,ab0n11. abn(6)乘方法则：ab0ab(nN*且n1). (7)开方法则：ab0nanb(nN*且n1). 典型例题讲解：

【典例】(1)下列结论正确的是

(

) A.若ac>bc,则a>b B.若a2>b2,则a>b

C.若a>b,c<0,则a+c

,则a|b|,故B项是错的;对于C项,应该是不等式的两边同时加上一个数,不等号的方向不变,故C错;对于D项涉及不等式的乘方运算性质,只有D对.

课堂练习：已知1ab5，1ab3，求3a2b的取值范围. 解答：设3a2b=x(ab)+yab=xyaxyb. 1x,xy3,152解得：3a2babab. xy2.522y.233a2b10.

分组练习比赛：（1）当a＞b＞0时，log1a

≥ x4x21. （4）

如果30x42,16y24,则

(1) xy的取值范围是46,66, (2) x2y的取值范围是18,10, (3) xy的取值范围是480,1008, (4) 22x1521的取值范围是, . y128【小结】（1）用同向不等式相加；（2）先求出-2y的范围，再用同向不等式相加；

（3）用可乘积性；（4）先求

1的范围再用可乘积性. y类型二:不等式的解法

一元二次不等式的解法. 一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0

的解集：

22设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，2b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生完成课本第86页的表格)

二次函数

△> △> 0 20

20

yax2bxc

yaxbxc

yaxbxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

axbxc02

无实根

a0的根ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

x1x2b

2a

xxx或xx12

bxx

2a

R



ax2bxc0(a0)的解集

典型例题讲解：

xx1xx2



例： 解不等式：（1）2x27x40；（2）x28x30. 【讲解】对于不等式（1），可先求出一元二次方程2x27x40的判别式，分析方程根的情况，然后结合二次函数fx2x7x4的图象可求得不等式的解集. 2对于（2），可先把二次项系数变为正数，然后同（1）解题过程. 解：（1）令2x27x40得7424170,

2方程有两根x1717717,x2.

44717717或x∴2x7x40的解集为xx. 442（2）由x28x30得x28x30，以下同（1），不等式的解集为x413x413. 

【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤是：（1）将不等式变形化为一般形式；（2）计算判别式；（3）根据判别式确定二次方程解得个数；（4）根据一元二次不等式解的结构，求出其解. 课堂练习：

关于x的不等式ax2bxc0的解集为xx或x0，求不等式ax2bxc0的解集. 解：由已知得x1,x2为方程ax2bxc0的根且a0. bc,,ba,ca. aa2代入不等式ax2bxc0，得axaxa0，

x2x0,xx0，又0,0，

x.所以不等式ax2bxc0的解集为xx. 分组练习比赛：

A组：不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是

B组：已知函数f(x)＝mx2－mx－6＋m，若对于m∈[1，3]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围．

m＝－2，讲解：A组

由根与系数的关系得⇒

nn＝－12.2＝3×（－2）＝－6∴y＝2x2－2x－12. B组：

f(x)＜0⇔mx2－mx－6＋m＜0⇔(x2－x＋1)m－6＜0.

∵x2－x＋1＞0，

1－51＋56∴m＜2＞3⇔x2－x－1＜0⇔＜x＜.

22x－x＋11－51＋5. ∴x的取值范围为x＜x＜22m－＝3－2＝1，2小结：一元二次不等式的解法

(1)一元二次不等式的解法

①将不等式化为ax2+bx+c>0(a>0)

或ax2+bx+c<0(a>0)的形式; ②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确定一元二次不等式的解集.

类型三:简单线性规划问题

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组

成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）. 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线AxByC0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点x0,y0，AxByC，从Ax0By0C的正负即可判断AxByC＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）. 3、线性规划的有关概念

①线性约束条件：

在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解. 典型例题讲解：

x－2y＋4≥0已知实数x，y满足2x＋y－2≥0，则x2＋y2的取值范围是________．

3x－y－3≤04，13

答案

5讲解：

已知不等式组所表示的平面区域如下图：

x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方．

3x－y－3＝0，解方程组得A(2，3)．

x－2y＋4＝0，|－2|24由图可知(x＋y)min＝22＝，(x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13. 2＋1522课堂练习：

5x3y15,例题：求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件yx1,

x5y3.解：不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（应的t最大. 所以zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11. 917,）的直线所对88zmax=3×917+5×=14 88分组练习比赛：

y≤x， A组：若变量x，y满足约束条件x＋y≤1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为my≥－1，和n，则m－n＝ x＋2y≥2，B组：设变量x，y满足约束条件2x＋y≤4，则目标函数z＝3x－y的取值范围是：

4x－y≥－1，讲解：A组题：画出可行域，如图阴影部分所示．

A(－1，－1)．B(2，－1)．

当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n，

当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.

讲解：B组题：作出可行域如图所示．

lo：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－，在B点处z取最323大值为6.答案为：

－，6

2小结：求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值时，只需把直线ax＋by＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z随之增大(或减少)(b>0)，找出最优解即可．

类型四:基本不等式及应用

定理：如果a,b是正数，那么典型例题讲解：

abab(当且仅当ab时取""号).

2例

已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(

) 911A．3

B．4

C.D.

22讲解：

依题意得，x＋1＞1，2y＋1＞1，易知(x＋1)·(2y＋1)＝9，则(x＋1)＋(2y＋1)≥2（x＋1）（2y＋1）＝29＝6，当且仅当x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1时，等号成立，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4.

课堂练习：

例题：求f(x)4x9(x>5)的最小值. x5 讲解：f(x)4x当且仅当x599202=4x5x5x5x592026，x599(x>5)的最小值为26. ,即x8时等号成立，所以f(x)4xx5x5

分组练习比赛：

A组：若x>0,y>0,且281,求xy的最小值. xy11的最小值为：

abB组：设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项，则

1A组题讲解：282882xy8,xy22.所以xy的最小值为22. xyxyxyB组题讲解：因为3a3b3，所以ab1，

1111baba1(ab)()2224，当ab时“=”成立，

abababab2

【小结】

利用基本不等式求最值的解题技巧

①凑项;②凑系数;③分离;④换元;⑤在应用基本不等式时,若遇到等号取不到的情况,结合函数的单调性;⑥整体代换;⑦取平方.