复习参考题设计意图

等差数列的前n项和第02讲

高2017级5班

罗庆伦

一、目标明确

学情分析

（1）、教学目标

1、知识与技能目标：

（1）、掌握等差数列前n项和公式，

（2）、.会解等差数列前n项和的最值问题，

（3）、能较熟练应用等差数列前n项和公式及其性质。

2、

过程与方法目标：

经历公式的推导和性质的理解过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

3、情感、态度与价值观目标：

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（2）、教学重点、难点

1、等差数列前n项和公式的应用是重点。

2、等差数列前n项和公式的性质的应用是难点。

（3）教法分析

探索与发现公式及其性质的推导的思路是教学的重点。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式和性质的推导方法。

应用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”“性质活用”四个层次来促进学生新的认知结构的形成。

（4）学法分析

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

（5）、教学过程

1、知识回顾阶段；

2、问题呈现阶段；

3、探究发现阶段；4、公式应用阶段；

5、性质提升阶段；

6、反馈练习阶段；

二、知识回顾

自主学习

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

2．等差数列的通项公式：如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的四种判断方法

(1)定义法(首选）：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．

解决问题的思路和方法比问题本身重要得多

！

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(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．

(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．

5．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

6．等差数列的前n项和公式及性质：

na1＋annn－1(1)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d. 22dda1－

n. (2)等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝n2＋22数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn (A，B为常数)．

(3) 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．且S3m＝3(S2m－Sm) Sn}{a}Snnn(4) 若为等差数列的前n项和,则数列也为等差数列. {

(5)等差数列的前n项和的最值

记等差数列{an}的前n项和为Sn;

①若a1>0,公差d<0,则当an>0且an10,则Sn最大,当an>0,an10

且an20,则Sn=Sn1最大.

②若a1<0,公差d>0,则当an<0且an10,则Sn最小,当an<0,an10

且an20,则Sn=Sn1最小

S奇an(6)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝. S偶an＋1(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，

S奇n则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)·an，＝. S偶n－1an1Sn2Tnbn12(8)若等差数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn(n为奇数),则{an}中.Sn=a,Smb,则Snm.或anS2n1bnT2n1

* (9)在等差数列=m,nm(ab)SSm时,Snm0,

当Snnm,特别地, 当nSm=n时Snm(nm)

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三、题型分类

深度剖析

解决问题的思路和方法比问题本身重要得多

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题型一

等差数列基本量的运算

例1：(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为(

) 55A．2

B．10

C.

D.

24

(2)已知在等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10等于(

) A．100

B．210

C．380

D．400

变式1：口答

(1)(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于(

) A．5

B．7

C．9

D．11

类型二

等差数列前n项和的最值

例2：在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．

变式2：在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．

解决问题的思路和方法比问题本身重要得多

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题型三

等差数列的性质及应用

命题点1

等差数列的性质

例3：(1)(2015·广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.

(2)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于(

) A．58

B．88

C．143

D．176

命题点2

等差数列前n项和的性质

例4：(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________.

S12S10(2)在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 018的值等于(

) 1210A．－2 018

B．－2 016

C．－2 019

D．－2 017

解决问题的思路和方法比问题本身重要得多

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. 变式3：(1)口答：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝100，则S30＝________

(2)等差数列{aSn}的前n项和分别为Sn和Tn，若n3n－2an}与{bT＝2n＋1，则7b等于(n7A.3727

B.3828

C.3929

四、反思小结

及时反馈

五、感悟提高

练出高分

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(

解决问题的思路和方法比问题本身重要得多

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)

D.4030

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A．63

B．45

C．36

D．27

2．(2015·北京)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是(

) A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0

B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3

D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(

) A．3

B．4

C．5

D．6

4．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于(

) A．0

B．3

C．8

D．11

5．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.

16．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. 21(1)求证：S成等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

n

解决问题的思路和方法比问题本身重要得多

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7．等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？

a88．设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，则(

) a7A．Sn的最大值是S8

B．Sn的最小值是S8

C．Sn的最大值是S7

D．Sn的最小值是S7

39．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，则正整数k＝________. 2

解决问题的思路和方法比问题本身重要得多

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Sn2n－3a9a310．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋Tn4n－3b5＋b7b8＋b4的值为________．

1＋an11．已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，bn＝，若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，an则实数a的取值范围为________．

12．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22. Sn(1)求通项an；

(2)求Sn的最小值；

(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c. n＋c

解决问题的思路和方法比问题本身重要得多

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