3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义评课稿

第1课时

复数代数形式的加减运算及其几何意义

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P56～P57的内容，回答下列问题．

(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2为何值？

提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)对于复数z1，z2，z3，关系式z1＋z2＝z2＋z1和(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)成立吗？

提示：成立．

(3)设＋么关系？

＝(a，b)，＝(c，d)分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，如图所示．则－与z1－z2之间又有什，z1＋z2各为何值？它们之间有什么对应关系？

提示：＋＝(a＋c，b＋d)，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，故－是复数z1－z2所对应的平面向量．

＋是复数z1＋z2所对应的平面向量．2．归纳总结，核心必记

(1)复数的加、减法运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么，

z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，

z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (2)复数加法的运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

(3)复数加、减法的几何意义

如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，，以OZ1，OZ2为邻边作. ，与z1－z2对应的向量是

[问题思考] (1)在实数范围内a－b>0⇔a>b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2>0⇒z1>z2恒成立呢？

提示：若z1，z2∈R，则z1－z2>0⇒z1>z2成立．否则z1－z2>0如z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1>0，但不能说1＋i大于i. (2)复数|z1－z2|的几何意义是什么？

提示：表示复数z1，z2对应的两点Z1与Z2间的距离．

[课前反思] (1)复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？

；

(2)复数的加、减法的几何意义是什么？

.z1>z2.

[思考]

若z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1＋z2，z1－z2为何值？

名师指津：z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 讲一讲

1．计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；

(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；

(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．

[尝试解答]

(1)(－2＋3i)＋(5－i) ＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i) ＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i ＝－a＋(4b－3)i.

(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．

(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．

练一练

1．计算：

(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；

1143＋i＋(2－i)－－i. (2)3232解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i. 1143＋i＋(2－i)－－i

(2)32321413＋2－＋－1＋i＝1＋i. ＝3223

讲一讲

2．已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.

(1)求(2)求表示的复数；

表示的复数；

(3)求B点对应的复数．

[尝试解答]

(1)∵∴＝－，

表示的复数为－(3＋2i)，

即－3－2i. (2)∵∴(3)∵∴＝－，

表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ＝＋＝＋，

表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即B点对应的复数为1＋6i.

运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题

向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量AB―→对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．

练一练

2．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，向量量对应的复数为3－i，求点C对应的复数．

解：∵∴又∵＝＝对应的复数为1＋2i，－＋对应的复数为3－i，

对应的复数为1＋2i，向对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. ，

∴C点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.

[思考]

在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则

(1)四边形OACB是什么四边形？

提示：平行四边形．

(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则该四边形OACB的形状是什么？

提示：矩形．

(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB的形状是什么？

提示：菱形．

(4)若|z1|＝|z2|，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB又是什么形状？

提示：正方形．

讲一讲

3．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．

[尝试解答]

由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．

而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，

又|OC|＝5，

所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4. 即|z|max＝6，|z|min＝4.

(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．

(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．

(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．

练一练

3．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. 解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，

由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，

又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，

可得2ac＋2bd＝0. ∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2

＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，

∴|z1－z2|＝2. 法二：作出z1、z2对应的向量OZ1―→、OZ2―→，使OZ―→1＋OZ―→2＝OZ―→. ∵|z1|＝|z2|＝1，又OZ1―→、OZ2―→不共线(若OZ1―→、OZ2―→共线，则|z1＋z2|＝2或0，与|z1＋z2|＝2矛盾)．

∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．

又|z1＋z2|＝2，

∴∠Z1OZ2＝90°，

即四边形OZ1ZZ2为正方形，

故|z1－z2|＝2.

———————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————

1．本节课的重点是复数的加法和减法运算，难点是复数加、减法运算的几何意义及其应用．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)复数的加法、减法运算，见讲1；

(2)复数加法、减法运算的几何意义，见讲2；

(3)复数加法、减法运算几何意义的应用，见讲3. 3．对复数的加法、减法运算应注意以下几点：

(1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；

特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．

(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．

(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．