1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教案设计（一等奖）

1.2

《独立性检验的基本思想及其初步应用》教学设计

马街中学 许德平

一、教学目标：

1.知识与技能：通过对实际问题的探究,了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用，明确独立性检验的基本步骤，并能解决实际问题。

2.过程与方法：通过问题设置，引导学生自主发现、合作探究、归纳展示、质疑对抗，感受独立性检验的方法和思想。

3.情感、态度与价值观：通过本节课学习，让学生体会统计方法在决策中的作用；合作探究的学习过程，培养学生学习数学知识的积极态度。

二、教学重点：

了解独立性检验的基本思想及实施步骤。

三、教学难点：

独立性检验的基本思想；随机变量K的含义。

四、学情分析：

本节课是在学习了统计、回归分析的基本思想及初步应用后，利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，进一步感受统计方法在决策中的作用，为以后学习统计理论奠定基础。

五、教学方式：

问题设置，合作探究式教学。

六、教学过程：

（一）、情境引入，提出问题

请看视频：

问题1、你认为吸烟与患肺癌有关系吗？怎样用数学知识说明呢？

（二）、探究新知

1、分类变量

对于性别变量，其取值为男和女两种：

这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量。

生活中有很多这样的分类变量如：宗教信仰、国籍、民族等等。

2、列联表

为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果：

表3—7

吸烟与患肺癌列联表

单位：人

2

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965

问题1、吸烟与患肺癌有关系吗？

由以上列联表，我们估计①在不吸烟者中患肺癌的比例为________；

②在吸烟者中患肺癌的比例为

。

因此，直观上可以得到结论：吸烟群体和不吸烟群体患肺癌的可能性存在差异。

提问：还有其它方法来判断吸烟和患肺癌有关吗？

3、等高条形图

比较图中两个深色条的高可以发现，在吸烟样本中患肺癌的频率要高一些，因此直观上可以认为吸烟更容易引发肺癌。

（三）、小组讨论，合作交流

问题2、你有多大程度判断吸烟与患肺癌有关？用什么方法进行检验呢？

我们先假设

H0：吸烟与患肺癌没有关系。

上述列联表中的数字用字母代替，可得如下列联表：

表3—8

吸烟与患肺癌列联表

单位：人

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

患肺癌

总计

a

b

d

bd

ab

cd

abcd

c

ac

如果“吸烟与患肺癌没有关系”，那么吸烟样本中不患肺癌的比例与不吸烟样本中不患肺癌的比例差不多，即：

即

adbc

探究：adbcadbcadbc的大小能说明了什么？

越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；

越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量

n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)

(1)

2其中nabcd为样本容量。

探究：K的大小能说明什么？

若2H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K应该很小。根据表3—7中的数22据，利用公式（1）计算得到K的观测值为

9965(777549422099)2k56.63278172148987491

9965(777549422099)2k56.63278172148987491探究：这个值到底能告诉我们什么呢？

统计学家经过研究后发现，在H0成立的情况下，

P(K26.635)0.01

(2) (2）式说明，在H0成立的情况下，K2的观测值超过

6. 635 的概率非常小，近似为0.01，是一个小概率事件。

2H现在K的观测值k56.632，远远大于6.635，所以有理由断定0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”。但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”。

在上述过程中，实际上是借助于随机变量K的观测值k建立了一个判断2H0是否成立的规则：

HH如果k6. 635，就判断0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断0成

立，即认为吸烟与患肺癌没有关系。

在该规则下，把结论“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不会超过P(K26.635)0.01, 即有99%的把握认为H0不成立。

（四）、形成概念，重点精讲

上面解决问题的想法类似于反证法。要判断“两个分类变量有关系”，首先假设该结论不成立，即

H0：两个分类变量没有关系

22成立。在该假设下我们所构造的随机变量K应该很小。如果由观测数据计算得到的K的观测值k很大，则在一定可信程度上说明H0不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类H0。

变量有关系”；如果k的值很小，则说明在样本数据中没有发现足够的证据拒绝怎样判断K的观测值k是大还是小呢？

2这仅需确定一个正数规则为：如果k0，当kk0时就认为K2的观测值k大。此时相应于k0的判断kk0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之k0为一个判断规则的临界值。

间没有关系”。我们称这样的2kk(1P(Kk0))100%的把握认为“两个分0在实际应用中，我们把解释为有2kk(1P(Kk0))100%的把握认为“两个分类0类变量之间有关系”；把解释为没有变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据。

上面这种利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法，称为独立性检验。

根据上述，“独立性检验”的具体做法步骤为：

第一步：根据实际问题需要的可信程度确定临界值第二步：利用公式计算随机变量K的观测值k；

22k0；

第三步：比较k与k0的大小得出结论。

k0：

在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值

表3-11

临界值表

P(K2k0)

0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.897 0.001 10.828 k0

（五）、运用新知，归纳展示

例1、某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：

能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？

男生

女生

合计

体育

15 25 40 文娱

30 10 40 合计

45 35 80

（六）、课堂检测，节节达标

1、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是

（

）

2A.若K6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有

99个患肺病。

B.从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么

他有99%的可能性患肺病。

C.若从统计数据中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使推

断出现错误。

D.以上三种说法都不对。

2、为了研究高中生的数学成绩和物理成绩的关系,在某校随机抽取部分学生调查,得到如下列联表：

单位：人

数学好

数学差

合计

物理好

100 60 160 物理差

100 90 190 合计

200 150 350 根据抽查数据，你能够有99%把握认为高中生的数学成绩与物理成绩之间有关系吗？请阐明得出结论的依据。

七、归纳小结，提炼精髓

1．了解2×2列联表的意义并能识别等高条形图；

2．了解独立性检验的基本思想；

3．了解独立性检验的操作步骤。