二次函数的一般应用教学目标

次函数的应用

教学设计

卢龙县蛤泊镇中学：黄小波

教材内容

本节课的教学内容是初中数学的核心内容，也是重要的基础知识和重要的数学思想，不仅与其它数学知识有着密切的联系，而且还与生活中的实际问题极为广泛的应用，是联系数学知识与实际问题间的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可缺少的重要内容。

教学目标

知识目标：

1．理解二次函数的关系式；

2．掌握二次函数的图象及有关性质。

能力目标：

1．学会用待定系数法求二次函数关系式；

2．能运用二次函数的相关知识解决简单的数学实际问题；

3．培养学生数形结合、转化、函数等数学思想的能力。

情感目标：体验用数学知识解决问题的乐趣，从而培养学生学习数学的积极性。

教学重难点

重点：二次函数图象与性质，能熟练运用二次函数的性质解决问题。

难点：

读图、识图的能力，建立函数模型并求解。

教学过程

温馨提示:每节课的所学的知识好比一颗珍珠，如果不加整理、归纳，就好比散落一地的珍珠显得杂乱；如果整理串成一串珍珠串，就美丽更有用！

1．课前基础题热身练习，进一步巩固基础知识

从第一课时复习了二次函数基本概念等知识后，紧跟着教师设计了以下几个热身练习：

（1）已知抛物线的解析式为y=(x-1)2+2，则抛物线的顶点坐标是（

）

Ａ.(-1,2) Ｂ．(1, 2) C．(1,-2) D．(-1,2) （2）下列抛物线中，过原点的是（

）

Ａ.y=2x2-１ Ｂ.y=2x2+1 C.y=2(x+1)2 Ｄ.y=2x2+x （3）抛物线y=x2+x-4与y轴的交点坐标为 。

（4）抛物线y=a(x+1)(x-3)的对称轴是直线( ) A．X=1 B．X=-1 C．X=-3 D．X=3

（5）已知二次函数y=-x2-2x+m的部分图象如图所

示，则关于x的一元二次方程－x2－2x+m=0的解是 。

y

y1 y2

o

x -2 1

第（5）小题

第（6）小题

（6）如图是二次函数y1= ax2+bx+c 和一次函数y2=mx+n 的图象,观察图象知当y2≥y1时,x的取值范围是 。

（学生举手发言，解决问题；教师引导学生解题的关键点，指导学生正确解答的方法，并及时评价）。

【设计意图】复习课同样也要面向全体学生，针对每一个有差异的个体，适应每一个学生的不同发展的基础，要为每一个学生提供不同的发展的机会和可能，使不同的人在数学上得到不同的发展。通过这组低起点、缓坡度、求实效的基础题训练，目的让学生学得扎实，突出数学课程的基础性和普及性，使人人获得必需的数学。为了加强复习的有效性，以题带知识，让学生通过对问题的解决，勾起对知识的回忆，加深对知识的理解，同时还能在教学中起到及时运用→及时反馈→及时形成新知，符合学生的认知规律。

2．典例精析

题目：如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D。

D 问题(1)：求此二次函数解析式及其顶点D的C

坐标； (0, 3) 思考：求此二次函数解析式能设顶点式吗？

【设计意图】用待定系数法求二次函数解析式(-1,0) (3,0) A o 是中考的要求，此题根据图象经过的三个已知B 点求抛物线解析式，培养学生的看图、读图获取有效信息的能力，体现了数形结合的数学思想；而思考可以从多角度培养学生对二次函数表达式的掌握，并能使学生更好地理解配方法。

问题(2):连结BC，与抛物线的对称轴交于点E,求直线BC的函数关系式和点E的坐标；

y x

提示：以上求函数解析式的方法就是待定系数法。

【设计意图】两点确定一条直线，用待定系数法求二次函数解析式是中考的要求，利用点D、E的纵坐标相同来表示。同时还为解决下面较难的问题（4）和问题（5）作铺垫，从而分散难点。从特殊点Ｅ到一般的点Ｐ，由静至动的设计符合学生的认知规律和认知心理。

问题(3):连结CD、BD，求△BCD的面积；

【设计意图】（1）求不规则图形的面积，或者不能求解图形的面积时，往往采用分割或补形的方法来解决，体现了转化思想；（2）一题多解的方法更好地能够培养学生的数学思维和

数学能力；（3）另外使得问题（6）的解决很自然，符合从简单到复杂的科学规律。

问题(4):点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F。求点P在BC什么位置时，线段PF最长？

【设计意图】这是个运动型的几何问题也是二次函数最值问题，此类问题常常可以建立函数模型并求解。由于问题（2）、（3）的设计使得此问题的解决容易多了，好比教师给了学生一把梯子，从而揭发了学生学习数学的兴趣。

问题(5):在（4）条件下，连结CF，BF，设P点的横坐标为m，求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

【设计意图】此题是平行四边形与方程相结合的试题，充分体现了方程、函数的数学思想。

问题(6):在（4）条件下，设P点的横坐标为m，试写出△BCF的面积S与m的函数关系式。

【设计意图】此题在问题（3）已解决的前提条件下来二次函数与面积相结合问题，另外还考查学生模仿、迁移的数学能力。

问题(7):连结OE，若点Q在x轴上，使得△OEQ 为

等腰三角形，求点Q的坐标；

提示：等腰三角形问题经常运用分类讨论的数学思想

【设计意图】（1）等腰三角形△OEQ 中的腰不明确，因而要分三种情况说明，体现了重要的分类讨论的数学思想。（2）教师利用画图演示的办法直观形象地反映出四个点Ｑ，又体现了数形结合的数学思想，特别是当QＥ＝QＯ时求Ｑ点坐标较复杂，符合新课标的要求。

３．你说我说谈收获

教师：今天老师和同学们一起整理了二次函数的图象与性质，并完成了例题中的7个问题，一路下来收获不小吧！说说你的感受，让大家一起来分享，怎么样？

这节课你有哪些收获？

（1）数学知识：

二次函数图象与性质;

（2）数学方法：配方法、待定系数法；

(3)数学思想：数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、函数-方程思想等。

这节课你有什么困惑？

（学生交流感受，体会收获，同时让学生谈谈困惑，教师根据学生的交流做适当归纳，并对学生自主探索、合作交流等学习过程进行评价。）

【设计意图】学生谈感受，教师做补充，培养学生的数学语言表达能力和自我整理的学习习惯。通过听听学生的心声及时反馈教学情况及时反思从而提高教学效果。困惑展现出来，让他们自己来纠错，这样印象会深刻得多，自然达到更有效的教学。

４．布置作业：

【设计意图】分层次布置作业，目的让不同的人在数学学习中得到不同的发展。

5．思考题：

（1）、已知A(-4，y1)，B（-3，y2)，C（1，y3)为二次函数 y=x2+4x-5的图象的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）

A．y1＜y2＜y3

B．y2＜y1＜y3 C.y3＜y2＜y1

Ｄ．y1＜y3＜y2

（2）、如图，抛物线yax2bxc与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则

(1)abc 0(填“”或“”)；

(2)a的取值范围是

【设计意图】通过思考题的形式一方面检查学生的掌握情况另一方面有意培养学生的勇于挑战的优良品质，从数到形再从形到数体现了二次函数的魅力。

教学设计说明：

1．指导思想

（1）以落实《数学课程标准》为终极目标，以学生知识、技能的形成，数学思维的完善和情感态度的发展为出发点，以多媒体课件为辅助教学手段，以教师的组织、引导、参与为依托，以学生的积极动脑、动口为主线

来构建本课时的教学模式，促进学生的有效学习。

（2）近几年的中考试题从多个层面展示了数学应用的广泛性，揭示了数学源于生活、寓于生活、用于生活的基本事实，着力实现数学的文化性、应用性与理论的有机结合，以促进学生综合素质的形成与提高为原则设计整节课。

（3）突出知识必须在学生自主探索、合作交流的基础上让学生自己去发现和归纳。

2．设计思路

（1）中考首轮复习主要任务是帮助学生构建知识网络，形成知识模块，通过问题的解决，能促使学生理解知识，掌握方法，获得新见解的题，它具有代表性，研究它的典型意义，可以“以点代面”使学生举一反三，触类旁通。从学生的认知特点出发，通过基础练习→精典例析→谈收获、困惑→反馈思考，紧紧围绕考核目标学习知识，技能与方法，在不知不觉中复习了二次函数。

（2）例题改编成问题串的形式逐步深入，从二次函数的解析式到求函数的最值再到与四边形、方程相结合，从特殊的具体的点E求△BCD的面积变到运动的点P求△BCF的面积，从而在解决问题中培养学生的能力，同时把数形结合、转化、函数思想、分类讨论等重要数学思想反映的淋漓尽致。同时让学生对二次函数有更深入的体会，实现“人人获得必需的数学”。

（3）设计课前基础题热身练习，激发学生的学习积极性，让学生主动地参与知识的巩固及消化过程，激发内在的学习动力，增强学习的自信心。

（4）通过对二次函数知识点的考查通过热身练习来设计，目的抓好学生的基础关，设计精典例析以及拓展思考题等的设计，实现“不同的人在数学学习中得到不同的发展”。

总之，复习导向正确与否，实施复习的措施与方法是否得当，复习效率的高低等直接关系着中考的成与败。我们的教学要让大部分学生学有所获，学有发展，使模糊的清晰起来，使缺憾的填补起来，使杂乱的条理起来，使孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架，使学生拥有良好的思维品质与学习习惯，对中考充满信心。