29.4 切线长定理教学目标设计

29.4切线长定理

1.知道过圆外一点可以作出圆的两条切线.

2.理解切线长定理,会利用圆的切线长定理解决一些简单问题.

3.了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,会用尺规找出三角形的内心,能画出三角形的内切圆.

1.经历探索过圆外一点作圆的切线和画三角形的内切圆的过程,增强探究意识,培养学生动手操作的能力.

2.通过经历探索切线长定理的过程,体会并实践“试验——论证”的探究方法,提高解决实际问题的能力.

3.通过应用切线长定理解决有关问题,提高学生运用知识解题的能力,培养数形结合思想.

1.经历画图、度量、猜想、证明等数学活动,培养学生的逻辑思维能力.

2.通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,树立科学的学习观.

3.通过小组合作交流探究出切线长定理及应用,培养学生主动探究、合作交流的意识.

【重点】

理解切线长定理,掌握三角形的内切圆和三角形的内心的概念.

【难点】

用切线长定理进行计算或证明,会画三角形的内心.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P11~13.

导入一:

(课件展示)

如图所示,小明同学测量一个光盘的直径,他将直尺、光盘和三角尺置于桌面上,如果量出AB的长度,就可以求此光盘的直径,你能说出怎样求出光盘的直径吗? 【导入语】

通过今天的学习,我们就可以知道是怎样求出光盘的直径的.

[设计意图]

由生活实例导入新课,让学生体会数学来源于生活,又应用到生活中去.激发学习新知的愿望.

[过渡语]

上节课我们学习了过圆上一点有且只有一条圆的切线,那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢?它们有什么性质呢?这就是我们今天要一起探究的内容.

一起探究

(课件展示) 如图所示,已知☉O及圆外一点P.如何过点P作出☉O的切线呢?

【师生活动】

教师课件展示小亮的画图步骤,学生思考回答小亮的作法是否正确.

(课件展示) 小亮是按下列步骤画图的:

①如图所示,连接OP,以OP为直径作圆,交☉O于A,B两点.

②连接PA,PB.

则PA,PB就是☉O的切线.

【师生活动】

学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,及时发现不同的作法,小组代表展示后,教师点评.

【思考1】

1.PA,PB是☉O的切线吗?若是,请说明理由.

2.过圆外一点P,可以作圆的几条切线? 3.猜想线段PA,PB具有怎样的数量关系? 4.完成下面的证明过程.

(课件展示)

已知:如图所示,P是☉O外一点,PA,PB分别与☉O相切于点A,B.

求证PA=PB.

【师生活动】

学生独立思考、测量作出猜想后,小组内合作交流,学生板书问题3的证明过程,教师帮助有困难的学生,对学生代表展示的证明过程点评.

(板书) 证明:如图所示,连接OA,OB,OP.

在Rt△OAP和Rt△OBP中,

∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,

∴PA⊥OA,PB⊥OB.

∴∠OAP=∠OBP=90°.

又∵OA=OB,OP=OP, ∴Rt△OAP≌Rt△OBP.

∴PA=PB.

归纳概念: (课件展示) 切线长:我们把线段PA,PB的长叫做点P到☉O的切线长.

【思考2】

切线与切线长有什么区别? (切线是直线,无法度量;切线长是切线上一条线段的长,即圆外一点与切点之间的距离,可以度量.) 【师生活动】

学生思考后回答,教师点评补充.

【思考3】

1.你能用语言叙述上述结论吗? 2.在上图中还有其他的结论成立吗?若连接AB,你又能得到哪些结论? 【师生活动】

学生思考后小组内合作交流,学生代表展示后,教师点评归纳.

(课件展示) 切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.

上图中的结论还有:∠APO=∠BPO=∠APB,∠AOP=∠BOP=∠AOB,∠OAP=∠OBP=90°,∠BOA+∠APB=180°.若连接AB,则有PO垂直平分AB等结论.

[设计意图]

通过操作、观察、猜想、证明、归纳的过程得出切线长定理,学生经历知识的形成过程,培养学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力,体会数学的严谨性,使学习能力不断提高.同时加强几何基本图形的认识,为应用切线长定理解决问题做好铺垫.

例题讲解

(课件展示)

(教材第12页例1)已知:如图所示,过点P的两条直线分别与☉O相切于点A,B,Q为劣弧上异于点A,B的任意一点,过点Q的切线分别与切线PA,PB相交于点C,D.

求证△PCD的周长等于2PA.

【师生活动】

学生独立思考后,小组内合作交流解题思路,并书写解题过程,教师帮助有困难的学生,引导学生应用切线长定理找相等的线段,利用转化思想证明,小组代表板书解答,教师点评归纳.

(板书) 证明:∵PA,PB,CD都是☉O的切线, ∴PA=PB,CQ=CA,DQ=DB.

∴△PCD的周长=PC+PD+CD

=PC+PD+CQ+DQ

=PC+PD+CA+DB

=PA+PB=2PA.

[设计意图]

通过例题巩固切线长定理的应用,学生独立思考后小组内合作交流解题思路,培养学生的合作意识,体会转化思想在数学中的应用,感受数学的严谨性和规范性.

(课件展示)

(教材第12页例2)用尺规作圆,使其与已知三角形的三边都相切.

已知:如图所示,△ABC.

求作:☉I,使它与△ABC的三边都相切.

教师引导分析: 1.作圆的关键是什么? (找圆心和半径) 2.如果☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I到三边的距离有什么等量关系? (圆心I到三边的距离相等) 3.三角形三条角平分线的交点有什么性质? (到三角形三边的距离相等) 4.圆心I与三角形三条角平分线的交点有什么关系? (圆心I为三角形三条角平分线的交点) 5.找到圆心后,如何确定圆的半径? (圆心到三边的距离相等,且为半径) 【学生活动】

根据教师的引导完成作图,小组内交流答案是否正确,教师点评.

(课件展示) 作法:如图所示.

(1)分别作∠B和∠C的平分线BM和CN.设BM与CN交于点I.

(2)过点I作ID⊥BC,垂足为D.

(3)以点I为圆心、ID的长为半径作☉I,☉I即为所求.

归纳概念: (课件展示) 内切圆:与三角形的三边都相切的圆有且只有一个,我们称这个圆为三角形的内切圆.

内心:内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.

[设计意图]

作三角形的内切圆是这节课的难点,把如何作三角形的内切圆分解成小问题的形式,在教师的引导下层层深入展开,学生易于理解掌握,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.

[知识拓展]

1.在图中若连接AB,则不难得出∠AOB+∠APB=180°, ∠AOP=∠BOP=结论也可以直接运用.

2.切线长定理主要用于证明线段相等、角相等及垂直关系,应重点掌握.

3.一个三角形有且只有一个内切圆.

∠AOB,OP垂直平分AB,这些4.三角形的内心一定在三角形的内部,是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.

1.切线长定义: 过圆外一点的一条直线与圆相切,则连接圆外这点和切点的线段的长,叫做这点到圆的切线长.

2.切线长定理: 过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.

3.三角形的内切圆: 与三角形的三边都相切的圆有且只有一个,我们称这个圆为三角形的内切圆.称这个圆的圆心为三角形的内心.