信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教案范文

《2.4正态分布》教学设计

惠州三中

陈炳玉

教学

预计

步骤

时间

教学内容

展示生活中的图片: 教师活动

学生活动

创

设

情

境

复习频率分布直方图

2 分

钟

教师：不知同学们在街头有没学生纷纷猜想其结果，有见过或玩过上图中的游戏，并说明猜想的理由

你觉得怎样获胜的机会较大？

教师：下落的小球在槽中的分布有没有规律？。

警示：十赌九骗，赌博埋葬过去，奋斗成就未来

经过观察，学生：下落的小球在槽中的分布是有规律的—中间多，两边少。

播放高尔顿板实验：

引

入

新

知

5 分

钟

教师：给出小球分布的频率分布直方图。

教师提出问题：

⑴

将球槽编号，算出各个球槽①这里每个长方形的面积的内的小球个数，作出频率分布表。

含义是什么？总面积是多少? ⑵

以球槽的编号为横坐标，以

小球落入各个球槽内的频率与组

距的比值为纵坐标，画出频率分②增大试验次数，频率分布折布直方图。连接各个长方形上端线图将会怎么变？

的中点得到频率分布折线图。

学生：分组讨论，共同回忆有关频率分布直方图的知识。

学生：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率，总面积为1

学生：组距减小，组数增多，频率分布直方图的外形就越来越趋向与一条光滑的曲线。

正态分布曲线（函数）:

个字母的含义：

学生：记忆正态分布的“是圆周率；e是自然对数概念、写法、参数的意义

的底；x是随机变量的取值；

教师简单分析结构并交代各

,(x)1e2(x)222，x(,)

为正态分布的均值；是实数和（0）为参数

正态分布的标准差。”

1

教学

预计

步骤

时间

教学

预计

步骤

时间

教学内容

教学内容

探究：正态曲线的特点以及参数和变化对图像的影响

方差相等、均数不等的正态分布图示μ=0μ=1教师活动

教师活动

学生活动

学生活动

学生自主操作应用几何画板，形象、美观地画出六条条正态曲线的图形

探

究

特

点

15 分

钟

教师：请学生们进行利用电脑和几何画板完成探究实践任务

μ=0

σ=0.5教师：引导学生归纳正态曲线的特征；



（1）曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；

①当0.5时，令1,0,1

时，（2）曲线是单峰的，它关于直线x对称；

在同一坐标系中画出函数图像

（3）曲线在x达到峰值②当1时，令0.5,0,2，在；

12同一坐标系中画出函数图像

（4）曲线与x轴之间的面积

为1；

（5）当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；

（6）一定时，曲线的形状均数相等、方差不等的正态分布图示=0.5μ=-1=1=2312

学生分组讨论：

⑴六条曲线有什么共同特点？

⑵固定的值，参数

对图象有什么影响？

⑶固定的值，参数对图象有什么影响？

由确定。越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散。”

【例1】本市某次数学考试的学生的数学成绩服从正态分布，其密度函数曲线如图所示是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出全市学生数学成绩的平均值和方差．

教师：给出习题。

【解析】从给出的正态曲线，可知该正态曲线关于直线x20对称，最大值是1211，

22.所以：20，

学生：独立完成

解得2。于是概率密度函数的解析式是：

2x(,)，数学成绩的平均值是20，方差是22。

,(x)1e(x20)24，

2

层层深入

5 分

钟

从正态分布，则记作X~N,2。

列举几个服从正态分布的随机现象实例：

师生互动：去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建y 立一个水平坐标轴，如图所示，用X表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时abO x

的坐标．

正态分布的定义：

（1）此时小球与底部接触时一般地，如果对于任何实数的坐标X是一个怎样的随机ab，随机变量X满足：

变量？

Pa＜Xbb（2）图中阴影部分面积有什a,xdx，么意义？

则称X的分布为正态分布，常记（3）对于任意一个随机变量作N(,2)。如果随机变量X服X，如何求出落在给定区间

学生分组讨论，并由小组代表回答：

（1）坐标X是一个连续型随机变量

（2）图中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是X落在区间(a,b]的频率；

（3）结合定积分的意义,阴影部分面积就是正态密度函数在该区间上的积分值，则有：

Pa＜Xbba,xdxa,b内的概率？

教师：引导学生分析某地区同龄人群的身高服从正态分布。再通过列举更多的实例来加强学生对正态分布的理解

学生：结合自己对正态分布的理解，分组讨论，并寻找现实生活中服从正态分布的例子。

某一地区同年龄人群的身高同一种包装的食用盐的重量拓展正常生产条件下螺丝帽的内径长度

一定条件下生长的小麦穗长延伸

学生自主操作应用几何画板，并完成下表：

学生通过讨论，对比很容易得出结论。

3原则：若X~N(,2)，则对于教师：若X~N(,2)，

任何实数0，概率

①当1,0.5时； ②当0,1时；

P(X),(x)dx

③当1,2时

5 分

钟

可得：

则计算

P(X)0.6826

P(X)P(2X2)0.9544

P(3X3)0.9974

P(2X2)分别对应下图中阴影部分的面积

P(3X3)

同时观察三组结果有什么特

点并总结归纳其规律

教学

预计

步骤

时间

教学内容

3 教师活动

学生活动

学

以

致

用

【例2】

在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，

（1）求正态总体ξ在(－1,1]内取值的概率．

（2）求正态总体ξ在(－∞，3]3 内取值的概率

分

钟

教师：引导学生，逐步解答该题

【解析】（1）由题意，知μ＝1，学生跟随教师共通完σ＝2.∴P(－1<ξ≤3) 成该题。

＝P(1－2<ξ≤1＋2)＝0.682 6. 又密度函数关于x＝1对称，

∴P(－1<ξ≤1) ＝P(1<ξ≤3) ＝12P(－1<ξ≤3)＝0.341 3. （2）P(－1<ξ≤3) ＝P(1－2<ξ≤1＋2)＝0.682 6. 所以P(ξ>3) ＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以在(－∞，3]内取值的概率为1－0.158 7＝0.841 3.

60，根据峰值可知8，

代入正态曲线表达式可得：

x6021①,x

e128

82

②P52＜X68

P＜X0.6826

③P60＜X68

教师：巡视辅导

学生：独立完成此题

1P52＜X680.3413 2【解析】因为X~N(110,400)，

所以110,20，

P11020＜X11020

0.6826所以X130的概率为

1(10.6826)0.1587. 2【例3】某地区数学考试的成绩教师：给出题目，并要求学生独X服从正态分布，其密度函数曲立完成，同时让同学上黑板板演线如图：

解题过程并进行点评。

①写出X的分布密度函数 【解析】根据对称轴可知②求成绩X位于区间52,68的概率是多少？

③求成绩X位于区间60,68的概率是多少？

检测反馈

8 分

钟

【例4】在上学期期末考试中，

某班54个学生的数学成绩（总分150分）服从X~N(110,400)，

求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．

所以X90的概率为

0.68260.15870.8413

所以及格的人数为

540.841345 (人)，

130分以上的人数为

540.15879 (人)

教学

预计

步骤

时间

教学内容

4 教师活动

学生活动

课

堂

小

结

作业

布置

2 分

钟

归纳总结本节课所学知识：

一、正态曲线

二、正态分布的定义

三、3原则

本节课涉及到的数学思想：

极限思想、数形结合思想、转化化归的的思想。

教师：引导各学习小组总结本节课的主要内容

学生：共同总结。并大声朗读: 正态分布形似钟，

概率计算积分型。

均值变化左右动，

高矮胖瘦方差控。

胖大瘦小有规律，

面积始终都是一。

3原则作用大，

工业生产需要它。

学生课后完成

课后习题、练习册

5