2.基本不等式优秀教学设计

§7.4

基本(均值)不等式及应用

[考纲展示]

1.了解基本(均值)不等式的证明过程．

2.会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题. { 基础分层导学

} [必备知识] 考点1

重要不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时，等号成立)．

a＋b考点2

基本不等式ab≤2

1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0；

2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立；

a＋b3．其中2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．

考点3

利用基本不等式求最大、最小值问题

1．如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，

那么当x＝y时，x＋y有最小值2P.(简记：“积定和最小”) 2．如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，

S2那么当x＝y时，xy有最大值4.(简记：“和定积最大”) [二级结论] 常用的几个重要不等式

(1)a＋b≥2ab(a>0，b>0)；

a＋b2(a，b∈R)；

(2)ab≤2a＋b2a2＋b2≤(3)2(a，b∈R)；

2

ba(4)a＋b≥2(a，b同号)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b. [双基夯实]

(1)[教材习题改编]现有一段长为18 m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是(

) A．1 m

C．0.75 m

答案：A (2)[教材习题改编]将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m. 答案：4＋22 1解析：设两直角边分别为a m，b m，框架的周长为l，则2ab＝2，即ab＝4，

∴

l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m. (3)[教材习题改编]建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为________元．

答案：1 760 B．1.5 m D．0.5 m

4解析：池底一边长为x米，则另一底边为x米，则总造价y＝4×1204＋4x＋x×80≥1 760，当且仅当x＝2时取得最小值．



1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件．

1(1)函数y＝x＋x在区间(0，＋∞)上的最小值是________，在区间(－∞，0)上的最大值是________．

答案：2

－2 1解析：当x>0时，y＝x＋x≥21x·x＝2，

1当且仅当x＝x，即x＝1时取等号，

故y的最小值为2. 当x<0时，－x>0，

11y＝x＋x＝－－x＋－x

≤－21－x×－x＝－2，

1当且仅当－x＝－x，即x＝－1时取等号，

故y的最大值为－2. π40，(2)函数y＝sin x＋sin x，x∈2的最小值为________．

答案：5 4解析：y＝sin x＋sin x≥244sin x·＝4，当sin x＝sin xsin x时，sin

x＝±2，显然取不到等号．

π4事实上，设t＝sin x，x∈0，2，则t∈(0,1]，易知y＝t＋t在(0,1]上为减函数，故当t＝1时，y取得最小值5. 2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．

(1)已知0

1答案：2

1193解析：由x(3－3x)＝3×3x(3－3x)≤3×4＝4，当且仅当3x＝3－13x，即x＝2时，等号成立．

4(2)若x>1，则x＋的最小值为________．

x－1答案：5 44解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5，

x－1x－14当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立．

x－1

利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数．

14(1)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝a＋b的最小值是________．

9答案：2

a＋b解析：∵a＋b＝2，∴2＝1，

1414a＋b52ab5＝＋＋≥＋2∴a＋b＝a＋b2b2a222ab当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立. b2a149故y＝a＋b的最小值为2. 2ab9·＝b2a24(2)已知0

答案：－4 解析：∵00，

4∴－y＝－lg x＋－lg x

≥24－lg x×－lg x＝4，

41当且仅当－lg x＝，即x＝100时，等号成立，故ymax＝－4. －lg x{ 题型重点研讨

} 考点1

利用基本(均值) 不等式求最值

(多维探究)

利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容．

主要有以下几个命题角度：

角度一：拼凑法求最值

2[典题1]

(1)已知0

1[答案]

5

2[解析]

因为00,2－5x>0，

115x＋2－5x21＝，

则f(x)＝x(2－5x)＝5·5x·(2－5x)≤5521当且仅当5x＝2－5x，即x＝5时，等号成立，

1此时f(x)取得最大值5. 1(2)在下列条件下，求y＝4x－2＋的最值．

4x－55①当x<4时，求最大值；

5②当x>4时，求最小值；

③当x≥2时，求最小值．

5[解]

①∵x<4，∴5－4x>0. 11∴y＝4x－2＋＝－5－4x＋5－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅4x－51当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立．

5－4x故当x＝1时，ymax＝1. 5②∵x>4，∴4x－5>0. 11y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5. 4x－5

4x－513当且仅当4x－5＝，即x＝2时，上式等号成立．

4x－53即x＝2时，ymin＝5. 1③当x≥2时，y＝4x－2＋为增函数，

4x－5

119ymin＝4×2－2＋＝. 4×2－532y(3)已知x为正实数且x2＋2＝1，求x1＋y2的最大值．

[解]

因为x＞0，

所以x1＋y2＝221y2x＋2＋221yx22＋2

2≤22. 2y131y又x2＋2＋2＝x2＋2＋2＝2，

所以x1＋y≤

22133222×2＝4，

32即(x1＋y)max＝4. (4)[2018·湖北华师一附中3月联考]若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．

[答案]

2 [解析]

因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x×22y＝22x＋2y，

所以2x＋2y≤4＝22，

即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2. [点石成金]

1.利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

2．在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．

角度二：常数代换法求最值

81[典题2]

(1)已知正数x，y满足x＋y＝1，则

①xy的最小值为________；

②x＋2y的最小值为________．

[答案]

①32

②18 81[解析]

①∵x>0，y>0，∴x＋y≥2∴28xy≤1，∴xy≥32. 8xy. 81②解法一：x＋2y＝x＋y(x＋2y) x16y＝10＋y＋x≥10＋281x＋y＝1，当且仅当x16yy＝x，x＝12，即y＝3x16yy·x＝18，

时等号成立，

故x＋2y的最小值是18. 解法二：(消元法) 81x由x＋y＝1，得y＝，

x－8x由y>0⇒>0，

x－8又x>0⇒x>8，

2x－8＋162x16则x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋2＋＝(x－8)＋x－8x－8x－8

16＋10≥2x－816x－8·＋10＝18，

x－816，即x＝12(x＝4舍去)，

x－8当且仅当x－8＝此时y＝3，等号成立，故x＋2y的最小值18. (2)已知正数x，y满足x＋2y＝4，则

①xy最大值为________．

21②x＋y最小值为________．

[答案]

①2

②2 [解析]

①∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2x·2y. ∴2x·2y≤4，∴xy≤2. 21211②x＋y＝x＋y(x＋2y)×4

x4y11＝44＋y＋x≥44＋2x4y＝2. y·x[点石成金]

将条件灵活变形，利用常数代换法求最值是解决此类问题的常用方法．

角度三：换元法求最值

16x2－28x＋115[典题3]

已知x>4，求函数y＝的最小值．

4x－55[解]

设4x－5＝t，∵x>4，∴t>0. t＋52t＋516－28·4＋114∴y＝tt2＋3t＋11＝＝t＋t＋3≥2＋3＝5. t3当且仅当t＝1，即x＝2时，上式取等号．

3∴x＝2时，ymin＝5.

4[题点发散1]

若将例3中的条件变为x≤5，求y的最大值．

t＋5解：设4x－5＝t，则x＝4. 49∵x≤5，∴t≤－5. t2＋3t＋11∴y＝＝t＋t＋3. t11设g(t)＝t＋t，∴g′(t)＝1－t2>0. 9∴g(t)在－∞，－5上为增函数．

9529∴ymax＝－5－9＋3＝45. 5[题点发散2]

若将例3中的条件变为x≠4，求y的值域．

解：设4x－5＝t，则t≠0. 1∴y＝t＋t＋3. 当t>0时，y≥2＋3＝5；

当t<0时，y≤－2＋3＝1. ∴函数的值域为(－∞，1]∪[5，＋∞)．

5[题点发散3]

若将例3中的条件变为0

5解：x∈0，4时，t∈(－5,0)．

11y＝t＋t＋3，y′＝1－t2. 令y′＝0，得t＝－1. t∈(－5，－1)时，y′>0；

t∈(－1,0)时，y′<0.

∴t＝－1时，ymax＝1. [点石成金]

本例是通过换元，凑出和为常数的形式，进而求最值．

Ax2＋Bx＋C自己总结形如y＝或y＝x域或最值的求法．

x的一类函数的值Ax2＋Bx＋C