2.基本不等式优质课教案设计

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

3.4.1

基本不等式的证明

教学目标：1．探索并了解基本不等式的证明；2．体会证明不等式的基本思想方法；3．能应用基本不等式解决简单的不等式证明问题．

教学重点：基本不等式的证明．教学难点：基本不等式的证明．

教学过程：

一、问题情境，导入新课

口述：有一个珠宝商人，很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题，于是向工商局投诉，工商局派人去调查，商人承认他用的天平左右的杆长有问题，向人们提出一个调解方案，放左边称变重对人们不公平，放右边称变轻商人要亏本，那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量，如果你是购买者，你接受他的方案吗？

问题1

你能不能把这个问题转化成一个数学问题？

珠宝放左边称砝码显示重量为a，放右边称砝码显示重量为b，假设天平的左杠杆长为l1，右杠杆长l2，那么这个珠宝的实际重量是多少？（会算吗？用什么原理来算？你认为珠宝商的方案合理吗，那也就是问题2

ab与ab

哪个大？）

2ab与ab

哪个大？（你估计一下哪个大？）（如果回答取值代，2那么可以追问取一正一负行吗？如果回答作差，可以追问你估计一下哪个大？）

二、学生活动

abab(a0,b0)呢？

2请2个同学上黑板（巡视，有不同的解法让他上黑板写一下）．

问题3

如何证明证法一（比较法）：ab11ab=[(a)2(b)22ab]=(ab)20，

222当且仅当ab，即ab时，取“=”．

证法二：要证

abab，

2只要证

2aba，b

只要证

0a2abb，

只要证

0(ab2)

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

因为最后一个不等式成立，所以

时，取“＝”．

证法三：对于正数a,b，有

2

(ab)，

0abab成立，当且仅当ab，即ab2

ab2ab0，

ab2

a，b

abab．

2先让学生谈一谈证的对不对，他这个证明方法有什么特点？

点评：回顾我们上面的证明过程，我们来看一下各种证法的特点：

证法一是比较法，比较法常用的就是作差将差值与零去比较；

证法二是分析法，分析法的特点是盯住我们要的目标，寻找结论成立的条件；

证法三是综合法，它们都是证明不等式的基本方法．

（看来珠宝商还是多赚钱的，只有a＝b时才是一个守法的商人啊．）

三、建构数学

定理：如果a,b是实数且(a0,b0)，那么取“＝”）．

问题：对于这个定理你怎么认识它？（结构有什么特点啊？成立的条件是什么？什么叫当且仅当啊？）

（上式中ab称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数，两个正2abab（当且仅当ab时2数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，有的时候我们也把这个定理写成．要用这个定理首先两个数必须都是非负数．

ab2ab）当ab时，取“＝”，并且只有当ab时，取“＝”，我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当．

四、数学运用

例1

设a,b是正数，证明下列不等式成立：

ba1（1）2

（2）a2（3）a2b22ab

aba（先让学生点评，对不对，关注格式与条件，他用什么方法来证明的？还有

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

什么别的思路？）

点评：我们证明不等式通常有比较法，分析法，现在有了这个定理，也可以应用它来证明

什么时候取等号？

师：我们现在已经对这个不等式有了一定的认识了，你能不能从图形的角度来认识一下它呢？

有线段AB长为a，线段BC长为b，你能找到讲完了可以让另一个学生再解释一下）

Fab和ab吗？（一个学生2AaOCbB

1,(x0)，求此函数的最小值．

x例2

（1）已知函数yx点评：什么是最小值，最小值就是大于等于一个数，你说大于等于2，那也大于等于1嘛，我能说最小值就是1吗？

（2）已知函数yx（3）已知函数y2x五、回顾小结

回顾本节课，你对基本不等式有哪些认识？

1,(x0)，求此函数的最大值；

x1,(x1)，求此函数的最小值．

x1