1.3 二项式定理（通用）公开课参赛课教案

《二项式定理》教学设计 山西省孝义中学 王琳

一、教学内容解析

《二项式定理》是人教A版选修2-3第一章第三节的知识内容。在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是我们进入微积分领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示的机会。本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．

二、教学目标分析

新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析(ab)2，(ab)3，(ab)4的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：

（一）、教学目标

1.知识与技能：

学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题．

2.过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，

体会数学语言的简洁和严谨，结合结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感．

（二）、教学重点、难点

重点：1、用两个计数原理分析（a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理，并能用计数原理证明；掌握二项展开式的通用公式，能应用它解决简单问题。

2、学会讨论二项式系数性质的一些方法。

难点：用两个计数原理分析（a+b)2的展开式；用两个基本原理证明二项式定理。

三、学情分析

１．有利因素

授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节(ab)n展开式中各项系数的研究会有很大帮助．

２．不利因素

本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程．

四、教法策略分析

遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”，

并利用多媒体辅助教学．

本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程．

五、教学过程

（一）创设情境

引入课题

引入：

师：在我们平时的计算当中经常会碰到这样一些数，如36=6，336？在没有计算器的情况下，我们如何计算呢？

生：摇头。

师：在估算的过程中，我们可以先观察336的整数部分，那么我们可以将其写成3363x，x表示小数部分。将式子两边同时进行立方，得36（3x)333332x33x2x3舍去x的2次方以上的项，得：x0.33。接下来进一步估算可以写成什么？

生：36（3.33x)3

师：根据刚才的算法，我们可以写成36（3.33x)33.33333.332x33.33x2x3

得：y0.028。于是3363.33-0.0283.302

师操作：打开计算器计算

师：发现这个结果与计算器直接算出的值比较，很接近吧！若想得到更准确的数值，我们可以通过多次迭代计算。那么，若是计算736的值呢？

生：我们需要知道（ab)7的展开式。

师：由上述算法知，要想知道任意数值开n次方的结果，就需要知道（ab)n的展开式，即我们今天所学的内容：二项式定理。

【设计意图】“二项式定理”是高中数学的重要内容之一，《普通高中新课程标准》中在“教学建议”中指出：要注重整体把握教学内容，将数学建模与数学探究、数学文化等主线贯穿始终。这里设计这个环节，创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，而且也让学生理解为什么要学习二项式定理。

创设情境：

问题1：全国青少年校园足球联赛高中女子组在我校如火如荼的举行，我以足球为背景，我们一起来看这样一个问题：

假设有两个桶里分别有大小相同，质地相等的红、黑足球各一个，从每个桶中依次各取一个球，有多少种不同的取法？

（请分别用枚举法、分类计数原理、分步计数原理进行分析。[）来源:Z。Xx 师：把红色小球记成a,黑色小球记成b。

列举法：aa ab ba bb共4种。

分步计数原理:第一步，第一次取球有两种方法；第二步，第二次取球有两种方法，所以一共22=4种。

0分类计数原理：第一类，两次都不取b（即两次都取a），有C2= 1种取法，第1二类，任一次取b（即另一次取a），有C2=2种取法；第三类，两次都取b（即2两次都不取a），有C2=1种取法；共4种。

【设计意图】这块内容有承上启下的作用，让学生用所学过的各种计数方法来回答问题，回顾各种计数方法的思维过程和解题过程，保障后面能选取最便捷的方法，并且运用该方法能准确、快速地得到答案。

（二）体验感知

探究归纳

（ab)(ab)逐项展开并整理，

问题2：请将思考：合并同类项前的展开式中，共有几项？ 4 合并同类项后的展开式中，共有几项？ 3 每项的次数为几次？ 2 接下来我们分组讨论下面的问题：问题3、4. 问题3：问题1与问题2的处理过程之间有何联系与区别？

生：同：展开的过程就是取小球的过程。

生：异：球ab、ba属两种方法，展开式中的ab、ba可合并同类

【设计意图】取球是同学们极为熟悉的例子，解决该问题已经得心应手，并已深刻理解。将新问题回归到已掌握的知识上，便于新问题的解决。

问题4：将（ab)2展开并整理后，各项的系数与取球问题有何联系？

生：整理后，各项系数即取球问题中分类记数原理的各类结果数。

【设计意图】初步体会展开式中系数的由来。

问题5：假设有三个桶里有相同的红、黑足球各一个，从每个桶中取一个球，有多少种不同的结果？（请分别列用举法、分类计数原理、分步计数原理进行分析。）

列举法：（略）

分步记数原理：2×2×2=8

0分类记数原理：第一类，三次都不取b，C3种；第二类，任一次取b,其他两次1取a, 有C3种；第三类，任两次取b,其他一次取a,有

C32种；第四类，全都取30123b，有C3种，即共C3C3C3C38种。

【设计意图】取两次的时候，学生可以用枚举法在转念间就解决问题，所以就会忽视了分类记数原理和分步记数原理对于解决该问题的优势，取三次就相对困难，让学生体会分类记数原理和分步记数原理对于解决多次取球问题的优越性。

问题6：谁能最快写出将(ab)3展开整理后的多项？

师：强调三点：合并前后项数、各项的次数、系数。

【设计意图】再次理解取球过程与展开式的联系，特别是展开式各项的系数与取球过程中分类记数原理的联系。

练习：写出将(ab)4展开并整理后的多项式？

【设计意图】巩固展开式各项、各项系数得出的方法。

问题6：将(ab)n展开并整理后，有哪些项？为什么？

师：请大家阅读课本30页的二项式定理的证明

【设计意图】让学生体会从特殊到一般，归纳并证明的过程。

师：猜证法是数学中常用方法，本定理是由不完全归纳法得出，需加以证明。其证明，课本当中用到了说理法，还可以采用数学归纳法进行证明，课下同学们可以自己证明。

（三）知识建构

形成定理

二项式定理（binomial theorem) 0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中各项的系数kknkkCn(k{0,1,2,n})称为二项式系数。式中的Cnab叫做二项展开式的通项，knkk用Tk1它表示，即通项为展开式的第k+1项：Tk1Cnab。

二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。

二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中都有广泛的应用，是我们进入微积分领域大门的一把金钥匙。

012n（1）系数规律：Cn

、Cn、Cn、、Cn（2）项数规律：右边的多项式，共有n+1项。

（3）指数规律：次数：各项的次数都等于n。字母a按降幂排列，次数由n递减到0 , 字母b按升幂排列，次数由0递增到n。

注意1：二项式定理是个恒等式，定理中字母a,b可以是单项式、多项式、任意实数或其他，其中式中a与b是用“+”连接的，且a,b位置不能对换。

001122kknn令a=1，b=x：（1x)nCnxCnxCnxCnxCnx

注意2：字母a,b的顺序不能颠倒。

【设计意图】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点，以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。

（四）巩固新知

提升能力

【例1】用二项式定理展开下列各式：

116)

①(1)4

②(2xxx全体学生分成两组，各组派代表上黑板板眼。

【设计意图：】是对二项式定理的简单应用，目的在于对定理字母a,b所表示的数或式的领会及运用定理的能力；式子的形式复杂时，先化简在展开。

1（2x)5的展开式中（1）请写出展开式的通项。例2、在（2）求展开式的第4x项。（3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。（4）求展开式中含

x3

的项。

注意：区别二项式系数与项的系数的概念：

k二项式系数为：Cn

项的系数为：二项式系数与数字系数的积

【设计意图】通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，区分二项式系数和系数，培养学生的运算能力．教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习的意义，从而使学习成为有意义的学习。

巩固练习：

1. 求

（12x)7的展开式的第4项的系数和倒数第四项。

2.（2017•山东）已知 （13x)n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________。（五）回顾反思

归纳总结

知识方面：

0n1n1knkknn1、二项式定理：(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)

kC,(k0,1,2,3n)

(1)二项式系数：nknkkTCb

na(2)二项展开式的通项：k12、典型例题： (1) 求形如

(ab)n的展开式问题。

（2）求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。

（3）求二项展开式中含x的几次方的项的问题。

思想方法：从特殊到一般；观察——归纳——类比——猜想——证明．

【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法．

（六）课下作业

思维延伸

1、估算：736？

2、巩固型作业：

课本36页

习题1.3 A组

1、2、3、4（1）（2）5一、P36:

1~3 3、思维拓展型作业：（查阅相关资料）

（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。

n012 （2）探究二项式系数 Cn

有何性质. ,Cn，Cn,

…，Cn【设计意图】通过课下作业使学生深入理解知识，培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力．并为下节课的学习打下基础。

（七）板书设计：

六、教后反思：

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程。

按照设想完成了预定的任务，实现了最初的目标。不足之处：学生在数学课堂中的参与度不够，今后应加强师生互动。

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性。重视学生的参与过程，问题引导，师生互动。重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯。