1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教案教学设计导入整理

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

问题导学

一、用列联表和等高条形图分析两变量间的关系

活动与探究1

某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试利用列联表和等高条形图判断监督员甲在不在生产现场对产品质量好坏有无影响．

迁移与应用

某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，试利用列联表和等高条形图判断考前心情紧张与性格类型是否有关系．

1．利用列联表直接计算ad－bc，如果两者相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．

2．在等高条形图中展示列联表数据的频率特征，比较图中两个深色条的高可以发现两者频率不一样而得出结论．这种直观判断的不足之处在于不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率．

二、独立性检验与应用

活动与探究2

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．

(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

附：

P(K2≥k)

k 0.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828

ad－bc2K2＝b＋d

迁移与应用

在一次天气恶劣的飞行航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为在天气恶劣的飞行航程中男乘客比女乘客更容易晕机？

进行独立性检验时，首先要根据题意列出两个分类变量的列联表，然后代入公式计算随2机变量K的观测值k，再对照相应的临界值给出结论，以决定两个变量是否有关，还是在犯错误的概率不超过多少的前提下有关系．

答案：

课前·预习导学

【预习导引】

1．不同类别

分类变量

预习交流1

C ac3．(1)相互影响

频率特征

(2)a＋b c＋d

ad－bc24．(2)b＋d

预习交流2

D 课堂·合作探究

【问题导学】

活动与探究1

思路分析：由题目所给数据列出列联表并画出相应的等高条形图，直观判断两个分类变量之间的关系．

解：根据题目所给数据得如下2×2列联表：

合格品数

次品数

总计

982

8

990 甲在生产现场

493

17

510 甲不在生产现场

1 475

25

1 500 总计

∴ad－bc＝982×17－8×493＝12 750，|ad－bc|比较大，说明甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．

相应的等高条形图如图所示．

图中两个阴影部分的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产现场时样本中次品数的频率．从图中可以看出，甲不在生产现场时样本中次品数的频率明显高于甲在生产现场时样本中次品数的频率．因此可以认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．

迁移与应用

解：考前心情紧张与性格类型列联表如下：

性格内向

性格外向

总计

332

213

545 考前心情紧张

94

381

475 考前心情不紧张

426

594

1 020 总计

∴ad－bc＝332×381－213×94＝106 470，

∴|ad－bc|比较大，说明考前心情是否紧张与性格类型有关．

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例，从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前心情是否紧张与性格类型有关．

活动与探究2

思路分析：(1)求出老年人中需要帮助的共有多少人，再求比值．(2)利用公式计算出K2，再进行判断．

解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需70要帮助的老年人的比例的估计值为500＝14%．

40×270－30×16022(2)K的观测值k＝200×300×70×430≈9.967．

由于9.967＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

迁移与应用

解：根据题意，列出2×2列联表如下：

晕机

不晕机

总计

24

31

55 男乘客

8

26

34 女乘客

32

57

89 总计

假设在天气恶劣的飞行航程中男乘客不比女乘客更容易晕机．

由公式可得K2的观测值

ad－bc224×26－31×82k＝b＋d＝55×34×32×57≈3.689＞2.706，

故在犯错率的概率不超过0.10的前提下，认为在天气恶劣的飞行航程中男乘客比女乘客更容易晕机．

当堂检测

1．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( )．

答案：D

解析：在四幅图中，D图中的两个深色条的高度相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．

2．为调查中学生近视情况，某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( )．

A．平均数

B．方差

C．独立性检验

D．概率

答案：C 3．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：

(单位：人) 月收入2 000元月收入2 000

总计

以下

元及以上

10

45

55 高中文化以上

20

30

50 高中文化及以下

30

75

105 总计

由上表中数据计算得K2的观测值

k＝≈6.109，请估计在犯错误的概率不超过__________的前提下认为“文化程度与月收入有关系”．

答案：0.025

解析：由于6.109＞5.024，故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“文化程度与月收入有关系”．

4．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的2作用”，利用2×2列联表计算得K≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05．则下列结论中，正确结论的序号是__________．

①在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；

②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；

③这种血清预防感冒的有效率为95%；

④这种血清预防感冒的有效率为5%．

答案：①

解析：K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．