2.2.2 反证法教案和学案内容

2.2.2“反证法”教学设计

1．教材内容及地位

本节课是人教版A版《数学》（选修1-2）第二章“推理与证明”的第2节内容《直接证明与间接证明》的第二小节的第一课时，学生主要学习间接证明的一种基本方法——反证法，学生通过学习，了解反证法的思考过程、方法特点、及应用范围. 它是在学完直接证明的两种方法综合法和分析法后，出现的一种间接证明的方法，这种方法的学习有助于培养学生逆向思考的思维能力，从而完善解题过程中正反面结合的思维习惯.

2.教学目标

1.知识与技能

（1）学生通过具体的例子了解反证法的思考过程、特点. （2）学生通过已经学过的数学实例的证明体会反证法的证明过程，并能用反证法证明一些简单的数学命题. 2.过程与方法

（1）学生借助实例分析体会反证法的证明原理. （2）学生通过实际演练体会在解决数学问题时，通过增加条件，增加了一种间接证明的方法——反证法. 3.情感、态度与价值观

（1）学生通过反证法的运用，在解决问题时有了“正难则反”的思维方向，发展了自己的思维能力，渗透了运用辩证观点解决问题的意识. （2）学生认识到例题背后的数学文化，了解了数学发展的源远流长，激发了自己学习数学的兴趣.

5、教学过程

（一）创设情境，引入课题（以下内容部分通过课件展示）

问题1：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的.你能证明这个结论吗？

假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4，则球的总数应该不超过8个，这与球的总数是9矛盾.因此，不论怎样染，至少有5个球是同色的. 设计意图：学生能够从具体的例子中，感受到反证法的存在。

问题2：上面的证明方法和我们上节课学习的综合法和分析法相同吗？

不同. 设计意图：学生了解反证法是与直接证明不同的一种方法. 问题3：上面这种证明方法在数学中叫做什么呢？

反证法. 设计意图：学生知道在数学证明方法中，还有这样一种证明方法. （二）引导探索，生成概念

问题4：你能总结一下什么叫做反证法吗？

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 设计意图：学生试着总结反证法的定义. 问题5：有了反证法的定义，你能总结出用反证法证明题目的步骤吗？

反证法证明题的步骤：

假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立. 从假设出发，经过推理，得出矛盾.

由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 设计意图：学生试着总结反证法证明题目的步骤. （三）学以致用，理解感悟

例1.已知a≠0.求证：关于x的方程ax=b有且只有一个根。

学生活动：引导学生从正面出发试着证明，从正面较难说明为什么只有一个根.这样我们想到了反证法. 证明：略。

设计意图：学生体会从假设出发，如何推导出与已知矛盾. 探究一：求证：√2，√3，√5不可能成等差数列。

学生活动：仿照例1的证明过程，学生思考，然后试着证明. 证明：略。

设计意图：进一步熟悉反证法的证明过程

例2.在同一平面内，两条直线a,b都和直线c垂直.求证：a与b平行. 学生活动：引导学生从正面出发，根据两条平行线的定义能否直接证明，由于不容易确定两条直线没有公共点，进而退而求其次，考虑用反证法. 证明：略。

设计意图：一是正面很难入手几何问题可以用反证法证明，同时这个问题从假设出发推出与定理矛盾，学生体会原来矛盾得点很多. 课堂练习：

求证：2是无理数. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60. 学生活动：找两名同学板书演练，其他同学自己练习. 设计意图：针对例1和例2进行训练. 回顾反思，深化认识

课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？

（关键词：证明方法，数学思想，情感体验等．）

证明方法：反证法

一般步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立. （2）从假设出发，经过推理，得出矛盾. （3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 矛盾情况：

可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、

事实等矛盾. 适用范围：

（1）当已知条件与结论之间的关系不够明显，直接由条件推的

结论的线索不够清晰；

（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而面

进行，只要研究一种或很少的几种情形；

（3）结论是否定形式的命题；

（4）关于“存在性”和“唯一性”命题及其他直接证明有困的

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命题. 布置作业

课本第43页习题1题. 设计意图：课堂与课后训练有机结合，学生通过作业的训练，能用反证法解决一些基本的数学问题. 板书设计

教后反思

我觉得这节课的设计亮点有：通过增加问题的训练，将课堂和课后的训练有机的结合，让学生有逆向思维的意识。