3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义第二课时 公开课

选修1-2 3.2 复数代数形式的四则运算

一、教学目标

1.核心素养

通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标

（1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义. （2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质. （3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 3.学习重点

复数代数形式四则运算法则. 4.学习难点

复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用. 二.教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1 预习教材P56---P60,完成P58和P60相应练习题

任务2 掌握复数加、减、乘、除四则运算法则

任务3

利用复平面理解复数加减法的几何意义

2.预习自测

1.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为（

）

A.1＋i

B.2＋i

C.3 D.－2－i

答案：D

解析：∵z1＋z2＝(2＋bi)＋(a＋i)＝(2＋a)＋(b＋1)i＝0，

1 / 23

2＋a＝0a＝－2∴，∴，∴a＋bi＝－2－i. b＋1＝0b＝－12.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：C

解析：z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z对应的点为(－1，－3)，在第三象限. 3.若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是（

）

A.－2 B.4 C.3 D.－4 答案：B

解析：z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，所以z的虚部是4. （二）课堂设计

1.知识回顾

1. 复数通常用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a,b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2. 两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 3. 复数z＝a＋bi(a,b∈R)的模为2.问题探究

问题探究一：复数的加减法

●活动一

怎样计算复数的加法与减法? 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),是任意两个复数，那么

（1）复数z1与z2的和的定义：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

（2）复数z1与z2的差的定义：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. ●活动二

从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？

事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）.

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za2b2

●活动三

复数的和与差还是一个复数吗？

显然，复数的和与差仍然是一个唯一确定的复数. ●活动四

我们以前学过的运算律还能在复数中使用吗？

对任意z1,z2,z3C. （1）交换律：z1z2z2z1；

（2）结合律：(z1z2)z3z1(z2z3). ●活动五

复数代数形式的加减运算的几何意义是什么？

uuur一一对应（1）复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ

uuur平面向量OZ

（2）复数zabi一一对应（3）复数的加减法的几何意义

复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角uuuuruuuruuur形法则，如图，OZ表示复数z1z2所对应的向量，Z1Z2表示复数z1z2所对应的向量，即OZuuuur表示复数(ac)(bd)i所对应的向量，Z1Z2表示复数(ac)(bd)i所对应的向量

注：

两个复数的差z1z2表示与连接两个终点z1,z2且指向被减数的向量对应. 问题探究二：复数的乘除法

●活动一

复数的乘法怎么算？复数的乘法是否有似曾相识的感觉？

设z1=a＋bi，z2=c＋di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则z1·（c＋di）z2=（a＋bi）=_________________. 从上面可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. ●活动二

复数的乘法是否也满足运算律呢？

对任意z1,z2,z3C. （1）交换律：z2z1z2z1

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（2）结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)

（3）分配律：z1(z2z3)z1z2z1z3z1

●活动三

复数的除法又该如何计算呢？

设z1=a＋bi,

z2=c＋di（a,b,c,d∈R，且c＋di≠0），

z1abiacbdbcad22i(cdi0)

22z2cdicdcd几个运算性质：

①i的幂的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N). ②(1±i)2＝±2i，1i1i1i，i，i. 1i1ii13③设i，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0. 22●活动四

什么叫做共轭复数？

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 通常记复数zabi(a,bR)的共轭复数为zabi(a,bR). 共轭复数有如下性质：①zRzz；②zzz2z；③zz2a，zz2bi；

zz④z1z2z1z2，z1z2z1z2；⑤z1z2z1z2，11(z2≠0).

z2z22例1

计算下列各题：

(1)(2-3i)(23i)1；

2i1i1(2)()()i；

2332(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i). (4)已知复数z满足z＋1＋2i＝10－3i，求z. 【知识点：复数的四则运算】

（1）原式=(22)(3详解：33)i11i

22111111（2）原式=()(1)ii. 322366（3）原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.

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（4）z＋1＋2i＝10－3i，∴z＝(10－3i)－(2i＋1)＝9－5i. 点拔：复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减. 例2 设及分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1＋z2，并在复平面内作出复数z1＋z2所对应的向量. 【知识点：复数的四则运算，复数加减法的几何意义】

【思路探究】利用加法法则求z1＋z2

详解：∵z1＝5＋3i，z2＝4＋i，∴z1＋z2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i uuuruuuruuuruuur∵OZ1，OZ2，由复数的几何意义可知，OZ1OZ2与复数z1＋z2对应，

（5,3）（4,1）uuuruuuruuuruuuruuur∴OZ1OZ2＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4).作出向量OZ1OZ2OZ如图所示.

点拔：

1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算. 2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则. 3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能. 变式：在题设不变的情况下，计算z1－z2，并在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量. 解：z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i. uuuur复数z1－z2所对应的向量为Z2Z1.

例3 （1）设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝2，求|z1－z2|. （2）已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值. 【知识点：复数的模，复数的模的几何意义，复数加减法的几何意义；数学思想：数形结合】

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（1）设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). 由题意，知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，∴2ac＋2bd＝0. ∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2. ∴|z1－z2|＝2. （2）【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题. 解法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i. 又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1. 可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆. 如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1. (1)

(2) 解法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，

而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，

在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，

所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1. 点拔：

|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解. 23i1i例4

（1）计算. 32i1i23i2（2）计算：1i123i(3)若复数z20136；

1i，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值. 1i【知识点：复数的四则运算】

（1）分析：先计算1i23i再乘方，且将的分母实数化后再合并. 1i32i

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(1i)2(23i)(32i)662i3i6详解：原式=i1i

2556(1i)2(23i)i6(23i)i又解：原式=i1i. 223i(32i)i（2）【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解. 2i(123i)2详解：(2)原式=123i1i1006621i

2=i2i100622(1i)2222(1i)=ii1006=i

22222013(3)1zzLz1z2014，

1z1i(1i)22i而z=i，

1i(1i)(1i)2所以1zzLz220131z20141i21i

1z1i点拔：1.要熟记in的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值. 2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解. 例5

已知z∈C，z为z的共轭复数，若zz3iz13i，求z. 【知识点：复数的四则运算，共轭复数】

详解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)，

由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，

22a＋b－3b＝1a＝－1a＝－1则有，解得或，

－3a＝3b＝0b＝3

所以z＝－1或z＝－1＋3i. 点拔：1.zzzz是共轭复数的常用性质. 2.实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔

z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数. 3.若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 3.课堂总结

【知识梳理】

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22

1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. 2.复数加减法的几何意义

3.复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律. 4.复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 【重难点突破】

(1)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，实质上是合并同类项，不必死记公式. uuuruuur(2)复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量OPOP2，那么，以OP1、OP2为两边1、uur作平行四边形，对角线OS表示的向量OS就是z1z2的和所对应的向量.

复数减法的几何意义：两个复数的差z1z2与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. (3)复数的乘法，也可按照多项式的乘法法法则计算，实质上也是合并同类项，同样不必死记公式. (4)两个复数相除较简便的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简

. (5)复数除法的核心是分母实数化，类似分母有理化. 4.随堂检测

1.2（

）

1iA.22

B.2 C.2

D.1 答案：C 解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】

原式21

1i2.复数i(2－i)等于（

）

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A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－1－2i 答案：A 解析：【知识点：复数的四则运算】

i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i.

(1－i)23.已知z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于（

）

A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 答案：D 解析：【知识点：复数的四则运算】

(1－i)2(1－i)22i由z＝1＋i，知z＝＝－＝－1－i，故选D. 1＋i1＋i（三）课后作业

★基础型

自主突破

1.12i1i2等于（

）

1A.1i

21B.1i

21C.1i

21D.1i

2答案：B

解析：【知识点：复数的四则运算】

原式12ii1

2i22. i为虚数单位，i607的共轭复数为（

）

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A.i B.－i C.1 D.－1 答案：A 解析：【知识点：共轭复数相关概念，i的周期性】

方法一：i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，其共轭复数为i.故选A. 方法二：i607＝i608i4×1521i＝i＝i＝－i，其共轭复数为i.故选A. 3.已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)等于（

）

A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 答案：C

解析：【知识点：复数的四则运算】

4.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：B

解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】

5.复数z满足(zi)i2i，则z=（

）

A.1i

B.1i

C.13i

D.12i

答案：B

解析：【知识点：复数的四则运算】

zi2ii，∴z1i

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）

－3+i6.复数z＝2+i的共轭复数是（

）

A.2+i

B.2－i

C.－1+i

C.－1－i

答案：D 解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数的定义】

z(3i)(2i)1i，z1i

57.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为（

）

A.3+5i

B.3－5i

C.－3+5i

D.－3－5i

答案：A 解析：【知识点：复数的四则运算】

z117i(117i)(2i)35i

2i51＋i62＋3i8. ()＋＝________. 1－i3－2i答案：1i

解析：【知识点：复数的四则运算】

原式i6(23i)(32i)5i11i

325★★能力型

师生共研

1.已知复数z满足z(1＋i)＝1＋ai(其中i是虚数单位，a∈R)，则复数z在复平面内对应的点不可能位于（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：B

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解析：【知识点：复数的四则运算】

由条件可知：z＝1＋ai(1＋ai)(1－i)a＋1a－1a＋1a－1＝＝2＋2i；当2<0，且2>0时，a，所以1＋i(1＋i)(1－i)z对应的点不可能在第二象限，故选B.

22.若12i是关于x的实系数方程xbxc0的一个复数根，则（

）

A.b2,c3

B.b2,c1

C.b2,c1

D.b2,c3

答案：D 解析：【知识点：复数的四则运算，复数的相等】

把12i代入方程x2bxc0，利用复数的相等即可

3.设a,bR，i是虚数单位，则“ab0”是“复数abi为纯虚数”的（

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案：B

解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】

4.设z是复数，则下列命题中的假命题是（

）

A.若z2≥0，则z是实数

B.若z2<0,则z是虚数

C.若z是虚数，则z2≥0

D.若z是纯虚数，则z2<0 答案：C

解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】

5.一个实数与一个虚数的差（

）

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）

A.不可能是纯虚数

B.可能是实数

C.不可能是实数

D.无法确定是实数还是虚数

答案：C

解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】

6.设复数z1＝1－i，z2＝a＋2i，若答案：6 解析：【知识点：复数的概念，复数的四则运算】

∵a∈R，z1＝1－i，z2＝a＋2i，

∴z2的虚部是实部的2倍，则实数a的值为______. z1z2a＋2i(a＋2i)(1＋i)a－2＋(a＋2)ia－2a＋2＝＝＝＝2＋2i，

2z11－i(1－i)(1＋i)a＋2a－2依题意2＝2×2，解得a＝6.

a7.若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________. 1－i答案：5

解析：【知识点：复数的模，复数的四则运算】

∵a，b∈R，且a＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，

1－ia＝1－b，a＝2，∴∴∴|a＋bi|＝|2－i|=22(1)2＝5. 0＝1＋b.b＝－1.8.计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i). 答案：见解析

解析：【知识点：复数的四则运算】

解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i) =(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i. 解法二：

∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i，

(3－4i)+(－4+5i)=－1+i，

……

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(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i. 相加得(共有1001个式子)：

原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i ★★★探究型

多维突破

1.复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是（

）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.锐角三角形

D.钝角三角形

答案：A

解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】

2.已知x1,y1,x2,y2R，定义运算“⊙”为z1⊙z2＝x1x2y1y2，设非零复数1,2在复平面内对应的点分别为P1,P2,点O为坐标原点，若1⊙2＝0，则在P1OP2中，P1OP2的大小为________. 答案：90o

解析：【知识点：复数的四则运算】

设

1a1b1i，2a2b2i

（a1,a20）

b1b21故得点P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，且a1a2b1b2＝0，即a1a2. 从而有kOP1gkOP2b1b2g1，故OP1OP2. a1a23.复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，且z1＝z2，则λ的取值范围是_____________. 9答案：－16，7

解析：【知识点：复数的四则运算，三角函数的值域】

m＝2cos θ，由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ24－m＝λ＋3sin θ，39＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sin θ＋4＝4sin2θ－3sin θ＝4sin θ－82－16，



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9因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈－16，7. y4.已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝3，则

x

的最大值为________. 答案：3 解析：【知识点：复数的加减法的几何意义，复数的模，直线的斜率的应用】

∵|z－2|＝(x－2)2＋y2＝3，

3y∴(x－2)＋y＝3.由图可知xmax＝1＝3. 225.已知复平面上正方形的三个顶点是A（1，2）、B（－2，1）、C（－1，－2），求它的第四个顶点D对应的复数. 答案：见解析

解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】

设D（x,y),则

ADODOA对应的复数为(x+yi)－(1+2i)=(x－1)+(y－2)i BCOCOB对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i ∵ADBC

∴(x－1)+(y－2)i=1－3i x11x2y23∴,解得y1∴D点对应的复数为2－i. (1i)2(34i)2z13iz,2z已知复数z满足: 求的值. 6.答案：见解析

解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模，复数的概念】

22z13iz,zabi(a,bR)ab13iabi0,

设，而即a2b2a10,a4,z43i.b3,b30则

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(1i)2(34i)22i(724i)247i34i2z2(43i)43i.

(四)自助餐

1.若z1,z2C，z1z2z1z2是（

）

A.纯虚数

B.实数

C.虚数

D.不能确定

答案：B 解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的概念】

z1abi,z2cdi(a,b,c,dR),z1z2z1z2(abi)(cdi)(abi)(cdi)2ac2bdR.

ai2i2.为正实数，i为虚数单位，，则a=（

）

A.2 B.3

C.2

D.1 答案：B 解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】

ai|1ai|1a22,i

a>0,故a3.

(13i)32i6(1i)12i的值是（

）

3.A.0 B.1 C.i D.2i 答案：D

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解析：【知识点：复数的四则运算】

(13i)32i13i3(2i)(12i)-1+3i313(1i)612i(2i)5(2)(i)+5i5

=i+i=2i. 4 若复数z满足z3(1z)i1,则zz2的值等于（

）

A.1 B.0 C.1

D.1232i

答案：C 解析：【知识点：复数的四则运算】

z3i3zi10,z13i13i1232i,

zz221. 5.已知33iz(23i),那么复数z在复平面内对应的点位于（A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

答案：A 解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】

z33i23i1232i

6.已知复数z＝1＋i，－z为z的共轭复数，则z－z－z－1＝（

）A.－2i B.－i C.i D.2i 答案：B

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）

解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】

解：B依题意得z－z－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. 7.设z1i4i5i6Li12，z1i4i5i6Li12则z1,z2的关系是（

）

A.z1z2

B.z1z2

C.z11z2

D.无法确定

答案：A 解析：【知识点：复数的四则运算，等比数列的前n项和，等比数列的前n项和】

i4(1i9)1iz11，z2i456L12i721

故选A. 1i1inn2f(n)ii(i1,nN)，集合f(n)的元素个数是（

）

8.已知A.2 B.3 C.4 D.无数个

答案：C 解析：【知识点：复数的四则运算】

1f(0)i0-i00,f(1)i-i-1=i-=2i,f(2)i2-i-20,f(3)i3-i-3=-2i.i

9.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是（

）

A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 答案：C 解析：【知识点：复数的加减法的几何意义】

A点坐标为(6,5),B点坐标为(-2,3),则中点C的坐标为(2,4),

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∴C点对应的复数为2+4i.

z10.设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数.若z＝1＋i，则＋i·z等于（

）

iA.－2 B.－2i

C.2 D.2i 答案：C 解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】

2∵z＝1＋i，∴z＝1－i，z1＋i－i＋ii＝i＝i＝1－i，

∴

zi＋i·z＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C. 11.若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为（

）

A.－4 B.－45

C.4 D.45

答案：D 解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】

设z＝a＋bi，故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，

所以3b－4a＝0，3a＋4b＝5，

解得b＝45. 故选D 12.若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z等于（

）

A.1－i

B.1＋i

C.－1－i

D.－1＋i 答案：A 解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】

∵z1－i＝i，∴z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.故选A. 13.如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（

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）

A.A

B.B C.C

D.D

答案：B 解析：【知识点：复数的概念，复平面，共轭复数】

表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示z.选B. 14.设z=（2-i）2（i为虚数单位），则复数z的模为

.

答案：5 解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】

15. i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2

. 答案：z2= -2+3i 解析：【知识点：复数的几何意义】

由于z1对应的点的坐标为(2,-3),所以z2对应的点的坐标为(-2,3),

z2= -2+3i. 16.（1）

i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.

(2)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________. 答案：-2；21 解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】

（1）(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0,1－2a≠0，∴a＝－2 （2）因为z＝(5＋2i)2＝25＋20i＋(2i)2＝25＋20i－4＝21＋20i，所以z的实部为21. 1＋i2 01617.＝________. 1－i答案：1 解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】

21＋i21 0081＋2i＋i1 008＝＝1. 21－i1－2i＋i

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18.－23＋i22 016＋＝________. 1＋23i1－i答案：1i

解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】

i(1＋23i)221 00821 008原式＝＋＝i＋－2i＝i＋i1 008＝i＋i4×252＝1＋i. 1＋23i1－i1＋x，x∈R，19.已知f(x)＝则f[f(1－i)]＝________. (1＋i)x，x∉R，答案：3 解析：【知识点：复数的四则运算，函数的概念】

∵f(1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2，∴f[f(1－i)]＝f(2)＝1＋2＝3. 20.已知复数z满足|z|＝5，且(3+ 4i)z是纯虚数，求z. 答案：见解析

解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，复数的模】

设z＝x＋yi（x,

y∈R），∵ |z|＝5，∴

x2＋y2＝25. 又(3＋4i)z=(3＋4i)(x＋yi)＝(3x－4y)+(4x＋3y)i是纯虚数，

3x4y0,x4,x4,4x3y0,y3,∴联立三个关系式解得或y3.

∴

z=4＋3i或z＝－4－3i

z21.设z1是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程. 答案：见解析

解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，共轭复数，复数的模】

∵2zzzzzzz0,

是纯虚数，∴

，即0z1(z1)(z1)z1z1设zxyi(x,yR)，则2(x2y2)2x0

11∴

xy2(y0).它为复数z对应点的轨迹方程. 24222.如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：

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→、BC→所表示的复数；

②对角线CA→所表示的复数；

③B点对应的复数. ①AO答案：见解析

解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】

→＝－OA→，∴AO→所表示的复数为－3－2i. ∵BC→＝AO→，∴BC→所表示的复数为－3－2i. ①AO→＝OA→－OC→，∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ②CA→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，∴OB→所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，

③OB即B点对应的复数为1＋6i. 点评：因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可. z23.已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在2－i第一象限，求实数a的取值范围. 答案：见解析

解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】

设z＝x＋yi(x、y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2. ∵x－2i1z11＝＝5(x－2i)(2＋i)＝5(2x＋2)＋5(x－4)i，由题意得x＝4.∴z＝4－2i. 2－i2－i212＋4a－a>0，22∵(z＋ai)＝(12＋4a－a)＋8(a－2)i，根据条件，可知解得2

8(a－2)>0，

∴实数a的取值范围是(2,6).

三、数学视野

以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论产生于十八世纪.1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们.因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了

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更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”.

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一. 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱. 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了.二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献. 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的. 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献. 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响.

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