2.2.4 点到直线的距离教案设计

教

学

案 例

《点到直线的距离》

唐山二十三中学 吴任宝

一、教材与学情分析

1．教材分析

⑴

教学内容

《点到直线的距离》是必修二第二章第二节的第四课时，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．

⑵

地位与作用

本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学***台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．

2．学情分析

高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．

二、教学目标

依据新课程标准的理念和学生情况，制定如下教学目标：

1．

知识技能

⑴

理解点到直线的距离公式的推导过程；

⑵

掌握点到直线的距离公式；

⑶

掌握点到直线的距离公式的应用．

2．

数学思考

⑴

通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；

⑵

通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；

⑶

通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．

3．

解决问题

⑴

通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程；

⑵由探索点P2,0到直线xy0的距离，推广到探索点Px0,y0到直线AxByC0A2B20的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法．

1

4．

情感态度

结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．

5．

教学重点

⑴

点到直线的距离公式的推导思路分析；

⑵

点到直线的距离公式的应用．

6．

教学难点

点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．

三、

教学媒体

使用多媒体教学．

四、设计思路

1．依据现代几何教育理念，本课的设计思路：直观感知（图片欣赏）→操作确认（学生作图）→推理论证（三种方法推导公式）→度量计算（例题练习）；

2．根据高二年级学生的学习状况和认知特点，本课在设计采用了由特殊到一般、从具体到抽象的方法，利用类比归纳的思想，整理出证明点到直线的距离公式的三种不同算法思路，从而突破教学难点；

3．由于平面向量是一种重要的运算工具，根据我校学生思维能力较强的特点，在教材提供的两种证明方法的基础上，补充了利用向量数量积的方法证明点到直线的距离公式；

4．教学中设计的思维框图反映了算法思想，有利于将问题进行条理化处理，让学生形成识别模式．

五、教学过程

教学

环节

教

师

活

动

学

生

活

动

活 动

说 明

新课引入

探

创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例：当火车在高速行驶时，如果旅客离铁轨中心的距离小于2.5m时，就可能被吸入车轮下发生危险．让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣．

回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？

1．

点到直线的距离公式的推导过程

（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象）

问题1

如何求点P(2,0)到直线xy0现实模型：

①地质勘探、铁轨宽度、人模

型

离高压电线的安全距离

（图片欣赏）

直

观

②生活实例

（flash动画演示）

索思

学生：过点P作l的垂线在复习PQ，垂足为Q，垂线段PQ旧知的的长度就是点P到直线l的基础上距离．

引人新点P与直线l上所有点的课．

由于教材上对的距离？

连线中，垂线段最短．

教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计

算方法，结果是什么？

2

方法①

利用三角函数

解：过点P作l的垂线PQ，垂足为Q.

l:xy0,QOP45.P2,0,OP2PQOPsin45222.

2探

索

思

教师：由于点和直线的位置比较特殊，直角三角形较为明显，并且出现了特殊角，所以可以利用三角函数来解决问题．但如果直线位置不具特殊性，三角运算将较为繁杂，故此法具有一定的局限性．

方法②

利用定义

解：过点P作l的垂线PQ，设垂足为Q.

于点到直线的学生作图后，结合图象，距离公分组讨论怎样计算PQ．

式的证明比较方法①

利用三角函数

学生：由于点和直线的位置抽象，很特殊，可以利用三角函数所以补充了两来解决．

个由浅

y

l:xy0

人深的

具体问

题，为

Q

·

后面推

广到一

45般情况

·

O

作好铺P2,0

x

垫．

问题1

考

l:xy0,P2,0,PQ:yx2.

yx,x1,

y2x.y1.Q1,1.PQ2101222.

方法③

利用函数的思想

解：设直线l上的点Q(x0,y0)，则

dP直线lQPmin.

xy0,x0y00.

QP(x02)2y02x024x04x022(x01)222.当x01时，取得等号，即点Q1,1.

教师：我们可将求点到直线的距离转化为两点之间的距离，再通过二次函数求最小值的方法解决本题．

强调：⑴点Q(x0,y0)在直线l上，故x0、y0满足直线方程；

⑵当等号成立时，指明此时点Q的坐标，并方法②

利用定义

（由于前面复习了点到直线的距离的定义，所以学生容易想到利用定义解决问题）

学生：利用定义解决问题．

方法③

利用函数的思想

（在前面复习中强调了垂线段最短，所以可以引导学生，利用二次函数求最小值的方法解决问题．）

学生：可以利用二次函数求最小值的方法解决问题．

y

l:xy0

Q

·

Q

·

·

O

P2,0

x

学生的解答中，可能会忽略取得等号的条件，教师要引导学生思考，取得等号时

补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，教师要鼓励学生利用多种方法解决问题1．

方法③利用了与方法②得到的点Q的坐标进行比较．

3 点Q的坐标，并与前面两种类比化

方法所得答案进行对比．

归的思

想，为

教师：由于PQl，所以我们还可以想到什方法④

利用直角三角形后面将么方法来计算呢？

的面积公式

两平行教师：应该如何构造三角形呢？

学生：三角形面积公式．

方法④

利用直角三角形的面积公式

如何添作辅助线是学生的一个思维难点，教师要强调：由垂直条件可以联想到三角形的高或直角三角形等知识，从而得到辅助线的添加方式．

直线间的距学生：过点P作l、x轴的垂线PQ、PR，构造RtOPR．

离，转化为点到直线的距离奠定基y

l:xy0

R

·

解：过点P作l、x轴的垂线PQ、PR，交点

为点Q、R.

P2，0，yx,R2,2.

OP2,PR2.RtOPR中，有ORQPOPPR,

Q

·

O

·

P2,0

x

础．

强调数形结合的思想

改变问题1中几何元素：点、直线的位置，引出问题2．

对于问题1的四种解法，学生可能回答不完全，教师要补充完整．

问题2

y

l:2xy20

Q

·

·

P4,2

x

O

问题3

即22QP22.QP2.

问题2如何求点P(4,2)到直线2xy20的距离？

（类比问题1的四种解法，让学生独立思考问题2．课堂上，只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程．）

探

问题3

如何求点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离（A2B20）？

索思考教师：你能否类比问题1、2解决这个问题？

教师：如果通过定义来计算，你的思路是什么？

教师：对于A0或B0的特殊情况，你又如何处理呢？

方法①

利用定义的算法思路

确定直线l的斜率kk0

1求与l垂直的直线l的斜率k

k

4

y

Px0,y0

·

直线的距离公在点到·

Q

O

x

l:AxByC0

探

索思

考

方法②

利用直角三角形的面积公式的算法思路

教师：如果类比问题1、2，通过面积构造法来计算，你应该如何添作辅助线？解题思路是什么？

过点P作x轴、y轴的垂线交l于点R、S

用x0、y0表示点R、S的坐标

求出PR、PS

利用勾股定理求出RS

根据面积相等知dRSPRPS

得到点P到l的距离dPQ

教师：根据得到的算法思路，请同学们自学5

式的推导过程中，渗透算法

学生讨论：前面四种推导方的思想

法的都可行，但利用三角函

数和利用二次函数求最小

值的方法，相对要复杂一对于方些．

方法①

利用定义的算法

学生分析解题思路，整理出算法框图．

学生的回答可能会忽略

法①，教材上只说明了算法步骤，而省略了繁琐的证明过程，所以只要求学生理清算法思路、给出框图，不要求证明过程．

对于方法②，引导学生理清算法思路，再根据算法框图，指导学生自学教材的证明过

程，培养学生k0即A0这个条件限制，教师要给予纠正并强调直线l的斜率是否存在，主要取决于分母k是否为0，这也是对前面知识的巩固．

学生：对于A0或B0的特殊情况，可以结合图象直接得出结论．

方法②

利用直角三角形的面积公式的算法

学生：先添作辅助线，过点P作x轴、y轴的垂线交l于点S、R，再利用直角三角形的面积公式进行计算．

l

y

P

··

R

·

Q

x

O

S

·

方法③

利用平面向量的算

方法③

利用平面向量的算法思路

法

教师：直线l的斜率是什么？

y

教师：若向量nl，你能表达n的一个坐标Px0,y0

·

吗？



教师：设点Mx,y是直线l上任意一点，·

Q

x

则PM的坐标是多少？

O

·

Mx,y

教师：设PM与n的夹角为，则PMn为多l:AxByC0

少？

APMnk学生：B0

教师：的几何意义是什么？

Bn

学生容易忽略B0的限制条件，教师给予纠正．

教师：结合图象，你能否表示出PQ？

学生：nA,B

教材P52的推导方法．

的数学阅读能力和获取信息的能力．

补充的方法③，建立在学生已有的平面向量知识的基础上．

设点Mx,y是直线l上任意

一点得PMxx0,yy0

求与l垂直的向量nA,B

对于法向量n的理解是课堂上一个难点，同时学生得到的只要求答案可能不统一．教师引导学生，在复习教材的阅读材学生理料的基础上，从向量共线的清算法角度加以分析，从而帮助学思路，生理解．

学生：PMxx0,yy0

而对于这种方法的具体解决过程，可作为课后思探

得到点P到l的距离dPMcos

PMnn

设PM与n的夹角为得PMnPMncos

PMnPMncosxx0,yy0A,B

Axx0Byy0

学生：

索思

xx0,yy0A,BAx0By0C

得到d22ABA2B2

PQPMcosPMnn

xx0,yy0A,BA2B2考业．

作考

6 补充的方法③

Ax0By0AxByA2B2Ax0By0CAB22为今后

在立体几何中，利用这种算法思路得到点到平面的距离公式设下伏笔．

前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．

为了强化学生对公式的记忆应当A0或B0时，以上公式仍然成立．

学生容易忽略距离是一个非负数，所以教师要强调PQPMcos应该加上问题解决

2．点到直线的距离公式

点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离dAx0By0CAB22（其中A、B不同时为0）

教师：你能否利用点到直线的距离公式解决问题1和问题2？并比较计算结果．

3．点到直线的距离公式的应用

例1

求点P0(1,2)到下列直线的距离：

⑴2xy100;

⑵3x2;

⑶x3y7;

⑷y24x1.

绝对值符号．

师生共同总结：对于点到直线的距离公式的理解．

⑴若直线方程中系数A0或B0的特殊情况，距离公式仍然成立，但一般情况下可以结合图形直接得到距离；

⑵根据公式的形式特点，学生进行公式的记忆．

师生共同讨论

知

识运用

33分析：⑴2xy100;

可能会有学生在代入公式计算时，忘掉绝对值符号．教师要给予纠正，强调距离是一个非负数．

也可能会有学生，先求出过点P0作直线的垂线，再求交点Q的坐标，最后求例1

解：⑴根据点到直线和的距离公式，得

用，安排了三d2(1)2102212

个典型例题．

例1中⑶、⑷两个问题是补dPQ.

1025.5教师说明：实际上，这种方法是重新推导了⑵解法①

因直线3x2公式，应该直接运用公式计算．

7 平行于y轴，所以

知识充的内容，目教材上的解法是结合图形直接得到点到的是强直线的距离，也可能会有学生是直接代入公解法②

根据点到直线的化点到5直线的式计算，教师指出对于A0或B0的特殊距离公式，得d.

距离公3式的应情况，一般结合图形直接得到结论．

⑶l:x3y7,

用前提⑶x3y7;

条件．

1327.

部分学生可能会对代入公式后计算得

点P1,2落在直线上,0例1主0这一结果感到困惑，教师要引导学生思考d0.

要是通此时点与直线的位置关系，指出当点落在直另解：根据点到直线的距离过直接公式，得d0.

将已知线上时公式仍然成立．

24点的坐⑷l:yx1,

24⑷yx1.

33标代人33l:4x3y20.

公式计在补充的问题⑷中所给出的直线方程

算，强不是一般式，所以在代入公式计算前，学生根据点到直线的距离公式，必须将直线方程化为一般式，以便确定系数

4132212调公式.的形式A、B，从而达到强调公式运用前提的目的．

d22543记忆和教师：使用点到直线的距离公式的前提条件

前提条

是把直线的方程化成一般式方程，如果给出件．在

此基础的直线方程不是一般式方程，应先将方程化

上，由

成一般式，以便确定系数A、B的值，这一浅入

深，补点对于直线方程中含参数的问题尤为重要．

充的例

2中直

例2

⑴已知点A2,3到直线yax1的线方程

含有参

距离为2，求a的值；

数，进

一步提⑵已知点A2,3到直线yxa的距离

高思维

难度．

为2，求a的值．

例2

由学生分析解题思路，

教师：如何求实数a的值？

并按要求用数学语言表述在例2中，由解：⑴

过程．

于直线学生：

yax1,axy10.方程中⑴中a表示直线的斜率；

的参数2a312a2⑵中a表示直线在y轴上的都具有d2,a21a21明显的截距．

几何意学生：这两个小问的几何意2

2a22a2,义，所义分别是

以在解⑵3x2;

25d(1).

33

运 8

4a8a42a2,222a28a20,a32或a32.

⑵yxa,xya0.d23a2a122,a12,a3或a1.

教师：这两问直线方程中参数a的几何意义是什么？

教师：两个小问的几何意义是什么？

（教师利用几何画板进行数学实验）

例3

求平行线2x7y80和

2x7y60的距离．

教师：这两条平行直线间的距离是否是固定

的？

教师：如何求这两条平行直线间的距离？

教师：可以选择哪个点？

解：在直线2x7y60上任取一点，例例3 学生：两条平行直线间的距如P(3,0),则P(3,0)到直线2x7y80的离处处相等．

学生：将两平行直线之间的距离就是两平行线间的距离．因此

距离转化为一直线上一点23708141453到另一条直线的距离．

d.

2253532(7)学生：选择点P(3,0)．

出参数a的值距离相等，所以点A在两条后，要直线所成角的角平分线上；

引导学生思考其几何意义．

补充的例题2既考察了学生

对公式⑵所得的两条直线互相平的掌握情况，行且距离为22．

又为下节课研究对称问题和直线系问题设下伏笔．

⑴点A1,2到两条直线的

由例2⑵的几何意义可以引出教材的例题3．

教师：是否可以在直线2x7y60上取学生：可以选择一般的点．

一般的点Px0,y0来求距离？

（引出教材P54的习题15，根据课堂剩余时解：设直线上一点P(x0,y0),

例3采2x07y060,d2x07y082722用了类比化归

的思想方法．

间，此题作为机动练习．）



9 681453.5353

课

堂小结教师引导学生归纳总结本节课所学习的主学生归纳总结

要内容．

本课主要学习了以下内容：

⑴

点到直线的距离公式的推导中不课后作业

同的算法思路：利用定义的算法、利⑴

利用向量的方法证明点到直线的距离公用直角三角形的面积公式的算法、利式；

用平面向量的算法；

⑵

点到直线的距离公式：

⑵

教材P

13、14、16 习题7.354点P(x0,y0)到直线AxByC0

（通过小结，使学生将本节课所学的知识系（其中A、B不同时为0）的距离

统化、条理化，使学生再次巩固知识，明确Ax0By0Cd.

方法．）

22AB说明：对于A0或B0的特殊情况时公式仍然适用．

⑶

应用点到直线的距离公式的前提条件．

板书设计：

课题：点到直线的距离

．

问题1

如何求点P(2,0)到直线xy0的距离？

1

方法①

方法②

方法③

方法④

．

问题2

如何求点P(4,2)到直线2xy20的距离？

2

．

问题3

如何求点P(x,y)到直线AxByC0

300

A2B20

点到直线的距离公式

的距离（）？

方法①

利用定义的算法框图

方法②

利用直角三角形的面积公式的算法框图

方法③

利用平面向量的算法框图

10

4．典型例题

例1 例2 例3 例4

5．课堂练习

6．课堂小结

7．课后作业

六、教学反思

1．对于这一节内容，有两种不同的处理方式：一种是让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的处理不利于我校学生数学思维的培养；二是课本方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；

2．点到直线的距离的证明过程，含有大量的字母运算而比较抽象．如果没有整体算法步骤的分析，学生的思路会缺乏连贯性，所以本课重点分析了三种算法思想：利用定义的算法、利用直角三角形面积的算法、利用平面向量的算法．让学生在明了算法步骤的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读；

3．向量是一种重要的运算工具，根据我校学生的实际，我在本课补充了利用向量的数量积证明点到直线的距离公式的方法．实际上，在以后立体几何的学习中，还将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．又由于这种方法在思维上有一定的难度，所以，我根据学生的实际情况，提出了分层要求：基本要求是能够理解教材所给的证明方法并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法证明点到直线的距离公式；

4．现代数学认为“几何是可视逻辑”，所以我重视在补充的例题中，突出几何直观和数形结合的思想方法；

5．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以我重视在学生应用公式中容易忽略的环节,并在补充的例、习题中给予了设置，以期达到强化训练的目的．

11