探究与发现 组合数的两个性质优质课教案内容

组合数的两个性质

教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；

掌握组合数的两个性质，

并且能够运用它解决一些简单的应用问题。

教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。

教学难点：利用组合数性质进行一些证明。

教学过程：

一、

创设情境，提出问题

问题1：

高二年级将在月底进行一场足球比赛，班上足球运动员有14位其中包括一名体育委员，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。

（1）我们可以形成多少种队员上场方案？

（2）我们可以形成多少种队员不上场方案？

二、新授内容：

mnm1．组合数的

性质1：Cn．

Cn

理解：

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n



m个元素．因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的．．．．组合数，等于从这n个元素中取出n



m个元素的组合数，即：mnm．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对CnCn应”的思想．

证明：∵Cnnmn!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!mnmn!

∴Cn

Cnm!(nm)!

又

Cnm0注：1

我们规定

Cn1

2

等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．

3

此性质作用：当mn时，计算Cnm可变为计算Cnnm，能够2使运算简化．

4

CnxCnyxy或xyn

问题2：

高二年级将在月底进行一场足球比赛，班上足球运动员有14位其中包括一名体育委员，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。

（1）

我们可以形成多少种队员上场方案？

（2）

抽出的11人中，包括体育委员在内的抽法有多少种？

（3）

抽出的11人中，不包括体育委员的抽法有多少种？

111011解：⑴

C14364

⑵

C13286

⑶

C1378

11

引导学生发现：C14+

．为什么呢？



m一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是m1从a2,a3,,an1这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cn个；不含有a1的组合是从a2,a3,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共m有Cn个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

mmm1

Cn3．组合数的

性质2：＝+．

CCn1nn!n!

m!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!m

m!(nm1)!

(nm1m)n!

m!(nm1)!

(n1)!

m!(nm1)!

证明：

CnmCnm1m

Cn1

mmm1

∴

Cn＝+．

CCn1n

注：1

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．

2

此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．

三、领悟新知，应用问题

3456⑴

计算：C7

C7C8C9n⑵

求证：Cmn2＝Cm+2Cmn1+Cmn2

x12x3⑶

解方程：C13

C13

(4) 计算：

kkkkkk1推广

CnCCCCC1n2n3k1kn

四、小结：1．组合数的两个性质；

2．从特殊到一般的归纳思想．

五、作业：

课堂作业：P103

1#，2# 课外作业：课本习题10.3；5#—8#