小结公开课教案

《统计案例》小结（第二课时）教学设计

—非线性回归模型的简单应用

【学习目标】

1.通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析；

2.会通过函数变换把非线性回归模型转化为回归模型，进一步体会统计方法的特点。

【重点难点】

重点：探究用线性回归模型研究非线性回归模型。

难点：如何选择不同的模型建模，以及如何把非线性回归模型转化为回归模型。

【教学流程】

一、复习与巩固

1.回归方程的相关计算公式：设回归直线方程为$y$bx$a，则

（1）、斜率$b=xi1nixiyiyxynxyiinxi1nx2=i1nxi12inx2

（2）、截距：$a=y-$bx

（3）、拟合优度确定系数：

2、基础练习

已知x,y之间的一组数据：

x y

0 1 R12i1ni1nyi$yii2yy2,2R越接近于1，表示回归效果越好. 1 3 4 5 9 7 若y与x满足回归方程ybxa，则此曲线必过点

. 二、例题讲解

【例1】为研究某种图书每册的成本费

（元）与印刷数

（册）的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．

1

(Ⅰ)根据散点图判断：

与

哪一个更适宜作为每册成本费

（元）与印刷数

（册）的回归方程类型？（只要求给出判断，不必说明理由）

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立

关于

的回归方程；

(Ⅲ)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元？（假设能够全部售出）

的斜率和截距

（附：对于一组数据

，

，…，

，其回归直线

的最小二乘估计分别为

）

，

变式1、某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理

如下表

，得到了散点图

如下图

．表中

．

2

（1）根据散点图判断，

与

哪一个更适宜作 烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型（不必说明理由

（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

【例2】某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与月售价x（单位：元／件）之间的关系，对近几年的月销售量yi和月销售价xi（i＝1，2，3，…，10）数据进行了统计分析，得到了下面的散点图：

（1）根据散点图判断，y＝c＋dlnx与y＝bx＋a哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为z（单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额＝月销售量×当月售价）

3

参考公式、参考数据及说明：

①对一组数据（v1，w1），（v2，w2），…，（vn，wn），其回归直线w＝α＋βv的斜率和截距的最小二乘法估计分别为②参考数据：

③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.06≈1.40．

变式2、一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：

4

（Ⅰ）根据散点图判断

与

哪一个更适宜作为产卵数

关于温度

的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立

关于

的回归方程（数字均保留2位小数）；

（Ⅲ）要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少

以下？（最后结果保留到整数）

三、拓展练习

5

1.

近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表所示：

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．

（1）根据散点图判断，在推广期内，

与

(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)；

（2）根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；

四、课后作业

6

1、某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间

（天数）与销售单价

（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）

与

（1）根据散点图判断，

哪一个更适宜作价格

关于时间

的回归方程类型？（不必说明理由）

（2）根据判断结果和表中数据，建立

关于

的回归方程；

（3）若该产品的日销售量 （件）与时间

的函数关系为

（

），求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？（结果保留整数）

的附：对于一组数据

，

，

，

，

，其回归直线

. 斜率和截距的最小二乘估计分别为

，

如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价（单位：万元／平方米）2、7

的散点图（图中月份代码1－13分别对应2017年1月－2018年1月），根据散点图选择

和y＝c＋dlnx两个模型进行拟合，根据数据处理得到两个回归方程分别为；

和，并得到以下一些统计量的值：

0.000591

0.000164

残差平方和

总偏差平方和

0.006050

2（Ⅰ）请利用相关指数R判断哪个模型的拟合效果更好；

（Ⅱ）某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区面积大小为m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲购房为其家庭首套房）．请你利用（Ⅰ）中拟合效果更好的模型解决以下问题：

（i）预测该小区二手房2018年6月份均价为多少？（精确到0.01）

（ii）在（i）计算得到的均价的前提下，估算该购房者应支付的购房金额．

（购房金额＝房款＋税费；精确到0.001）

附注：根据有关规定，二手房交易时，购房者需要缴纳契税，税费是按照房屋的计税价格进行征收．（计税价格＝房款）．征收方式见下表：

契税（买方首套面积90平方米以内（含90平方米）为计税价格的1％；首套面积90缴纳）

平方米以上且144平方米以内（含144平方米）为计税价格的1.5％；面积144平方米以上或非首套为计税价格的3％．

参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，lnl7≈2.83，ln19≈2.94．

参考公式：相关系数

．

《统计案例》小结（第二课时）教学设计答案和解析

8

【例1】解：(Ⅰ)由散点图判断，

＋

适宜作为每册成本费

与印刷册数

的回归方程．

(Ⅱ)令

，先建立

关于

的线性回归方程，由于

∴

，

∴ 关于

的线性回归方程为

＋ ，

从而

关于

的回归方程为

＋．

(Ⅲ)假设印刷

册，依题意，

＋

，

∴

，

∴至少印刷8761册．

，

【解析】

本题考查利用散点图研究变量的相关关系及可线性的回归分析,同时考查线性回归方程的求解，属中档题. （I）本小题考查回归模型的应用，由散点图直接作出判断. （II）本小题考查回归方程的求法，求出y关于的线性回归方程即可求解. （III）本小题考查简单的回归分析，利用(2)的结果即可求解. 变式1、解：

＋

更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型；

(2)由公式可得：

，

，

所以所求回归方程为

＋

；

(3)设

，则煤气用量

＋

＋

当且仅当

时取“

”，即

时，煤气用量最小. 答：x为2时，烧开一壶水最省煤气. 【解析】

本题考查根据散点图确定回归方程类型，求回归直线方程，利用所求方程构造函数求最值，属于综合题. (1)根据散点图是否按直线型分布作答; (2)根据回归系数公式得出y关于

的线性回归方程,再得出y关于x的回归方程; 9

(3)利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件. 【例2】解：（1）令

更适合销量y关于月销售价格x的回归方程类型，

，先建立y关于u的线性回归方程，

，

，

∴y关于u的线性回归方程为

，

因此y关于x的回归方程为（2）由题意得则令

得得

当x

（0，4.06）时，

，此时z单调递增，

当x

（4.06，+∞）时，

,z单调递减，

故当x=4.06,时，z取得最大值，即月销售量y=

=10.17（千件），

，得，

，

．

时，月销售额预报值最大．

【解析】

本题主要考查回归方程的应用，结合数据进行计算，求出相应的系数是解决本题的关键．考查学生的计算能力．

（1）根据散点图得到y=c+dlnx更适合销量y关于月销售价格x的回归方程类型，结合表格数据进行计算即可．

（2）求出z的表达式，求z的导数，结合函数的单调性最值之间的关系进行判断即可．

变式2、解：（Ⅰ）由散点图可知，

选择

更适宜作为产卵数

关于温度

的回归方程类型；

（Ⅱ）因为

，令

，所以

与

可看成线性回归，

，

，

所以

所以

，即

；

（Ⅲ）由

即

，

所以解得

，

10

，

要使得产卵数不超过50，则温度控制在 【解析】

以下. 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．

（Ⅰ）根据散点图的特点可得答案；

（Ⅱ）由参考数据得，即可求出y关于x的回归方程；

（Ⅲ）由题意，直接将数据代入线性回归直线方程，解不等式即可求解. 拓展练习

【答案】解：(1)由散点图的分布，可知在推广期内

适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型. (2)∵

，两边同时取常用对数得：

设

∴

∵

,

,∴

,

将样本中心点(4,1.54)代入

，解得

,故

, ∴

. x=8时，y=374(十人)即3740人. 【解析】

(1)由散点图的形状，判断出回归模型；

(2)将回归方程转化为线性模型，借助最小二乘法求出线性方程，然后求出回归方程，

将x=8代入回归方程，求解y值即可.

课后作业

1.【答案】解：(1)由散点图可以判断

适合作价格y关于时间x的回归方程类型;

(2)令

,先建立y关于w的线性回归方程,由

∴

, 关于w的线性方程为

, ∴

关于x的线性方程为

(3)日销售额

，

；

,

时,有最大值1265元,

即该产品投放市场第10天的销售额最高,最高为1265 元. 【解析】

11

本题主要考查线性回归方程，属于中档题. (1)根据散点图判断回归模型即可；

(2)由回归模型求出回归方程；

(3)根据回归方程求出最值即可.

2.【答案】解：（Ⅰ）设模型

和

的相关指数

分别为

和

，则

，

，

，

＜

所以模型

拟合的效果好．

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知模型

拟合的效果好，利用该模型预测可得，这个小区在2018年6月份的在售二手房均价为

万平方米

（ii）设该购房者应支付的购房金额为h万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以

1.04×①当70≤m≤90时，契税为计税价格的1％，故h＝m×（1％＋1）＝1.050m 1.04×②当90＜m≤144时，契税为计税价格的1.5％，故h＝m×（1.5％＋1）＝1.056m 1.04×③当144＜m≤160时，契税为计税价格的3％，故h＝m×（3％＋1）＝1.071m 故

【解析】

本题主要考查概率统计的相关知识，回归方程的应用，属于中档题．

（Ⅰ）根据残差平方和越小，则模型拟合效果越好；即可判断．

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的回归方程模型，计算二手房均价，根据二手房交易需要缴纳若干项税费逐一计算即可．

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