1.3 二项式定理（通用）课堂实录【1】

1.3.1二项式定理

一、教材分析：

1、知识内容：二项式定理及简单应用

2、地位及重要性

二项式定理是安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及高三选修概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

3、教学目标

A、知识目标：

（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律

（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开

B、能力目标：

（1）在学生对二项式定理形成过程的参与、探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力及分类讨论解决问题的能力

（2）培养学生的化归意识和知识迁移的能力

C、情感目标：

（1）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生解决数学问题的信心； （2）通过学生自主参与和二项式定理的形成过程培养学生体会到数学内在和谐对称美；

（3）培养学生的民族自豪感，在学习知识的过程中进行爱国主义教育。

4、重点难点：

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式项数的规律；

（2）能够利用二项式定理对给出的二项式进行正确的展开。

难点：二项式定理的发现。

二、教法学法分析

为了达到这节课的目标：掌握并能运用二项式定理，让学生主动探索展开式的由来是关键。“学习任何东西最好的途径是自己去发现”正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”本节课的教法贯穿启发式教学原则，以启发学生主动学习，积极探索为主。创设一个以学生为主体，师生互动、共同探索的教与学的情境。通过复习引入，引申设疑，实验猜想，归纳推广等环节进行对此定理的探索。不仅重视知识的结果，而且重视知识的发生、发现和解决的过程，贯切新课程理念。

另外，根据“近发展区的理论”精心设置问题，调控问题的解决过程培育这节课最佳的知识生长点。

三、教学用具：电脑、投影等多媒体。

四、教学过程

1、复习引入：

母亲节快到了，为了表达对母亲的爱，我们回家以后为母亲做一次水果拼盘，水果原料为苹第

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果与葡萄。在装有苹果与葡萄的果盘中，每一个果盘里选一样水果，可能拿出哪些水果的组合？选出的结果中一串葡萄和一个苹果来自果盘的组合有几种？如果是三个果盘里边各取一种水果，取出可能的结果有哪些？两个苹果一串葡萄来自果盘的组合有几种？

对

ab

展开式的分析

2ab2是2个(a+b)相乘，即ab2a+b)2= (a+b)* (a+b)= (a + b)* (a + b)=aa+ab+ba+bb 根据多项式的乘法原理，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b选定一个后，才能得到展开式的一项。

展开后其项的形式为：a ab b

22012c这三项的系数分别为：

2 c2 c2

问题：

1)．ab展开后各项形式分别是什么？

4a4

a3b

a2b2

ab3

b4

2）．你能分析说明各项前的系数吗？

⑴(ab)a2abbC2aC2abC2b；

0312233⑵(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

22202122⑶(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

4322344a的系数是C4；展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4，

∴(ab)C4aC4abC4abC4abC4b．

40413222334442330401312223442、讲解新课：

0n1n二项式定理：(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

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n

an，anb，…，anrbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数： 00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

r恰有r个取b的情况有Cn种，annnrrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

0n1n∴(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)，

n这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)的二项展开式，⑶它有n1r项，各项的系数Cn(r0,1,nn)叫二项式系数，

rnrrrnrr⑷Cnab．

ab叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cn1⑸二项式定理中，设a1,bx，则(1x)n1CnxrrCnxxn

3、讲解范例：

例1 求12x的展开式

5练习：求12x展开式第三项以及其二项式系数，求x项的系数

53思考1：今天是星期三，再过85100天是星期几？

3思考2：ab2c的展开式中，abc的系数是多少？

4、归纳小结

a.知识收获：二项式定理的表达式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。

b.方法收获：正确区分“项的系数”和“二项式系数”

c.思维收获

类比思想，一般到特殊，特殊到一般的思想，归纳的思想。

5、作业布置p37

习题1.3的第2、4（1）（2）

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