1.不等式的基本性质教案和学案内容

1.1.1不等式的基本性质

学案

学习目标

1.了解不等式的实际背景；

2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小；

3.掌握不等式的基本性质。

重点难点:

1.重点：学会比较两个代数式的大小；掌握不等式的基本性质。

2.难点：不等式的基本性质的应用。

学习过程

一、情景引入

提出问题

问题1:“

横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”体会其中蕴含的不等关系

？

问题2:生活中有哪些不等现象？举例说明

二、问题导向、探究新知

探究1、两个实数比较大小的依据及应用

研究不等式的出发点是实数的大小关系。我们知道在数轴上的点实数一一对应，且右边的点表示的数比左边的点表示的数大，实数a，b在数轴上的表示如图.可以看出a，b之间具有以下基本事实:

a > b

⇔

; a＝b ⇔

; a

. 问题3: 从上述基本事实出发，你认为怎样比较两个实数的大小？

问题4:在比较时通常作怎么样的变形？ 【典例讲解】

例题1、比较(x3)(x7)和(x4)(x6)的大小．

【配套练习】

比较xx与x2的大小.

归纳总结1：作差比较法的步骤是：

1. 2. 变形： ；

3. ； 4. 作出结论．

探究2、不等式性质及应用

1 2

问题5:

甲现在比乙大，再过几年，甲仍然比乙大，它揭示了一个什么问题?

问题6:

阅读教材P～P第一行，完成下列问题．

35性质1

性质2

对称性

传递性

可加性

a>b⇔b

如果a>b，b>c，那么

如果a>b，那么a＋c>b＋c

如果a>b，c>d，那么

>b＋d

性质3

推论

可乘性

性质4

推论

性质5

性质6

问题7:通过语言叙述可以加深理解上述基本性质，例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘以一个正数，不等号同向；不等式两边同乘以一个负数，不等号反号。你能用自己的语言叙述以上各条性质吗？

乘方性质

开方性质

如果a>b，c>0，那么

；

如果a>b，c<0，那么

如果a>b>0，c>d>0，那么

如果a>b>0，那么an

bn(n∈N，n≥2) nn如果a>b>0，那么a

b(n∈N，n≥2)

问题8:请同学们尝试证明以上不等式性质？（证明一下性质（4））

问题9:思考：观察不等式的基本性质（1）-（6），并与等式的基本性质比较，你认为在研究不等式时，需要特别注意什么问题？

【即时练习】判断对错：

(1)若a>b,则ac>bc; (2)若a>b,则ac2>bc2;

11(3)若aab>b2; (4)若a;

ab归纳总结2：

ba(5)若a.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论ab基础，必须熟练掌握，注意不等式性质中的条件.

【典例讲解】

2

例2 已知 a>b>0, c>d>0,求证

ab> .

dc

a例题3：已知12

b

归纳总结3：

1．本例中由a，b的范围求其差a-b的范围，一定不能直接作差，而应转化为 作和求解．

2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．

三、学以致用，解决问题

生活小实验：b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖（m＞0），未达到饱和的情况下，糖水变甜了。

问题10:你能根据这一事实提炼一个不等式吗？

问题11:请同学们尝试证明提炼出来的不等式？

四、当堂训练、及时巩固

1．已知a>b>c，则下列不等式正确的是

(

) A．ac>bc

B．ac2>bc2

C．b(a－b)>c(a－b)

D．|ac|>|bc| 12．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．

aππ3、已知：－≤α<β≤，求α－β的范围．

22

4、已知：－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的范围．

3

课堂小结

一、比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，作差比较法的步骤是：

1. 2. 变形： ；

3. ； 4. 作出结论．

二、不等式的基本性质

（1）对称性

（2）传递性

（3）可加性

（4）可乘性

（5）同向可加性

（6）同向同正可乘性

（7）可乘方性

（8）可开方性

课后作业

1、学法大视野第63页；

2、预习基本不等式；

3、若a，b，c满足b＋c＝3a－4a＋6，b－c＝a－4a＋4，

比较a，b，c的大小．

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