3.三个正数的算术-几何平均不等式教学设计模板

《一个函数模型的研究》教学设计

乾安七中数学组

王丽颖

一、教学目标

1、研究并解决实际生活中的一个函数最值问题，进一步理解函数的图像与性质. 2、在研究和解决问题的过程中，体验化归和数形结合的思想方法，体验研究数学问题的一般过程和一些基本策略. 3、进一步形成研究性学习的方式，养成质疑求真的科学态度. 二、教学重点

函数性质的再认识与函数思想方法在解题中的运用. 三、教学难点

问题本质属性认识. 四、学习策略

自主探究与合作研究相结合. 五、设备准备

PPT. 六、教学过程

（一）问题的提出

最近，轨道交通建设者在建设轨道交通的过程中遇到了这样的一个问题：如图，在轨道交通线MN的两侧有四个居民小区A1、B1、C1、D1，通过街道与轨道线相连，各路口分别是A、B、C、D，为方便小区居民出行，现要在轨道线上建一交通站，使居民到交通站所走的路程总和最小.请问：交通站应建在（

）

A.

A、B之间任何一处（含端点）

B.B、C之间任何一处（含端点）

C. C、D之间任何一处（含端点）

D.A、D之间任何一处（含端点）

设计意图：通过对轨道交通建设中的一个实际问题的介绍，让学生感受到生活中处处有数学，并且在探索知识过程中感受到数学的应用，从而激发学生学习的兴趣. （二）、问题的解决

问题的初步研究

（1）将上述问题转化为一个数学命题的形式. 设x1、x2、x3、x4为已知实数，且x1x2x3x4.问：x为何值时，函数f(x)xx1xx2xx3xx4取最小值.

(2)

问题解决. 问x为何值时，函数f(x)x1x1x2x3取得最小值.

解决方法——化归为分段函数，结合函数图像加以解决. 设计意图：鉴于学生已学过函数的性质，所以他们探索未知函数性质具备一定的基础.因而，问题的初步研究，主要是创设问题情境促使他们去思索，去探求，在独立研究或与他人讨论的基础上解决问题，并思考解决问题的策略与方法，为问题的本质研究做铺垫. （3）问题升级

如果路口增加为A、B、C、D、E后，请写出与之对应的数学命题. 设x1、x2、、xn为已知实数，且x1x2xn,xR,nN*.求函数f(x)xx1xx2xxn的最小值.

（4）问题本质研究. 对你所写出的命题进行研究，将结果与其他同学进行交流. 结论

：

n为奇数时，当xxn1时，f(x)取得最小值. 2N为偶数时，当xnxxn时，f(x)取得最小值. 221设计意图：问题的本质研究是在对问题的初步研究和探索的基础上，

让学生探索这种函数最值得一般规律，也即探索问题的本质属性，与前面的问题研究前后呼应.其研究方法又对后面问题的拓展研究起到一定的过渡作用.在教学过程中，使学生能自觉地形成从分段函数去研究函数的“数”的特征，从图像的角度去研究函数“形”的特征的数学思想. （5）问题的拓展研究

改变系数（条件）后，进一步研究. 求下列函数的最值：

f(x)x2x1x1,g(x)x14x12x2,

h(x)x23x12x2.结论：

f(x)minminf(2),f(1),f(1)f(2),且f(x)无最大值；g(x)maxmaxg(1),g(1),g(2)g(1),且g(x)无最小值；

h(x)minminh(2),h(1),h(2)h(2);h(x)maxmaxh(2),h(1),h(2)h(1).（6）结合以上研究，请概括出一个更一般性的命题并加以研究. 设a1、a2、an为实数，x1、x2、、xn为已知实数，且x1x2xn,xR,nN*.求函数f(x)a1xx1a2xx2anxxn的最小值或最大值.

结论

若a1a2an0,则f(x)minminf(x1),f(x2),f(xn),无最大值；若a1a2an0,则f(x)maxmaxf(x1),f(x2),f(xn),无最小值；

若a1a2an0,则f(x)minminf(x1),f(x2),,f(xn)；

f(x)maxmaxf(x1),f(x2),,f(xn).

设计意图：问题的拓展研究是在问题初步研究和本质研究的研究体验之后，很自然地想到了问题能否作进一步的推广（拓展）研究，它把问题的研究推到了一个更高的台阶.

（三）、结论应用

例题一、某地街道呈现东——西、南——北向的网络状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有格点（-2,2）、（3,1）、（3,4）、（-2,3）、（4,5）、（6,6）为报刊零售店.请确定一个格点（除零售点外）

为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 例题二、

(1)若不等式x1x2a恒成立，则实数a的取值范围为

(2)若不等式x1x2a有解，则实数a的取值范围为(3)若不等式x1x2a恒成立，则实数a的取值范围为

(4)若不等式x1x2a有解，则实数a的取值范围为

（四）、小结与交流

研究问题基本策略和方法

（五）、设计反思

研究性学习和教学，毕竟是一次实践探索.在课堂教学过程中，不确定因素主要有：一是学生在问题研究中对数学问题的认识存在开放性，二是教学方法的开放性.因此对教学提出了挑战，这就需要教师有充分的思想准备，充分发挥教师的主导作用，指导学生不断检验、修正猜想中不正确的部分，最终归纳出改进的结论.