二 一般形式的柯西不等式教学设计及说课稿

柯西不等式及证明

蓝山二中 陶先国

教学目标:

1．掌握二维柯西不等式的代数形式、向量形式和三角不等式．

2．掌握柯西不等式的一般形式．

3．能利用柯西不等式解决不等式证明和最值问题．

教学重点: 理解并掌握柯西不等式及其推广形式．

教学难点:

柯西不等式在证明不等式和求最值中的应用．

教学过程:

一、课堂探究

定理1 柯西不等式：

若a，b，c，d为实数，则 (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2

，当且仅当

ad＝bc 时，等号成立．

问题1：在柯西不等式中，取等号的条件可以写成＝吗？

acbdac分析：不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．

bd设计意图：体会柯西不等式的广泛性和一般性.

定理2 柯西不等式的向量形式：

设α，β为平面上的两个向量，则 |α||β|≥|α·β| ，当且仅当

α和β共线(平行) 时，等号成立.

1

探究3：设a,b,c,dR，求证：a2b2c2d2≥(ac)2(bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．

分析：两边平方后用分析法证明

设计意图：进一步体会柯西不等式的应用，为引入三角形不等式做铺垫. 定理3 三角形不等式：

设x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，那么

（x1－x3）2＋（y1－y3）2（x1－x2）2＋（y1－y2）2.

问题2：三角形不等式的几何意义是什么？

分析：三角形的两边之和大于第三边，等号成立时三点共线．

探究4：柯西不等式能否推广到n个元素的一般形式．

定理4 柯西不等式的一般形式：

设n为大于1的自然数，ai,bi（i1,2,,n）为实数，则

222222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，

＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥等号当且仅当i1,2,,n）. bb1b2n时成立（当ai0时，约定bi0，a1a2an

2

二、例题选讲

1.设a,b,m,nR，且a2b25,manb5，求m2n2的最小值；

2.若a,b,c(0,)，且abc1，求abc的最大值；

设计意图：熟悉柯西不等式在求最值中的应用.

3设x,y0，若不等式1x1yxy0恒成立，求实数的最小值；

设计意图：熟悉柯西不等式一般形式在不等式的证明与求最值中的应用.

4.已知x,y0，xy，求证：2x

5.若xyz1，求证：3x13y23z333

6.

已知x,y,z1,xyz33，

x2y2z23求证：

x2y3zy2z3xz2x3y212y3；

x22xyy2

3

三、课堂小结

1．二维柯西不等式的代数形式，向量形式，三角形式的结构特征．

2．应用柯西不等式证明不等式和求最值时注意等号成立的条件．

3．使用柯西不等式时的转化与化归思想．

四、当堂检测

1.已知xy1,求2x23y2的最小值；

2.已知ab2,b0，当a1取得最小值时，求a的值；

2ab2a2b2c3.设a,b,c0,abc9，求的最小值；

五、课后作业

1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是(

) A．[－25，25]

B．[－210，210] C．[－10，10]

D．(－5，5] 解析：∵a2＋b2＝10，

∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2，

即20≥(a＋b)2，

∴－25≤a＋b≤25. 答案：A

4

2．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则(1)(1)的最小值为(

) A．4

B．2 1C．1

D．

4解析：(1)(1)≥(1答案：A 3．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋5y的最大值是(

) A.2

B．1 C．3

D．9 解析：∵2x＋5y＝2x·1＋5y·1≤4x2＋5y2·12＋12＝1·2＝2. ∴2x＋5y的最大值为2. 答案：A 4．设a1，a2，…，an为实数，P＝则P与Q的大小关系为(

) A．P>Q

B．P≥Q

C．P

D．不确定

解析：由柯西不等式知

(a＋a＋…＋an)·1＋1＋＋1

n个1x1y1x1y12)＝4，故选A. xy22a2a1＋a2＋…＋an1＋a2＋…＋an，Q＝，nn212221212≥a1＋a2＋…＋an，

22∴

a1＋a2n≥a1＋a2＋…＋an. 2＋…＋an·22a2a1＋a2＋…＋an1＋a2＋…＋an≥，∴P≥Q. nn即得

5

答案：B 5．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝ab＋cd，Q＝ma＋nc·则P与Q的大小________．

解析：由柯西不等式，得

bd＋，mnP＝bam·＋mb2＋mdnc×≤nam2＋nc2×d2＝am＋nc×

nbd＋＝Q. mn答案：P≤Q 6．函数f(x)＝x－6＋12－x的最大值为________．

解析：由柯西不等式得

(x－6＋12－x)2≤(12＋12)·[(x－6)2＋(12－x)2]＝12，

∴x－6＋12－x≤23(当x＝9时，“＝”成立)．

答案：23 7．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则

m2＋n2的最小值为________．

解析：由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，mn当且仅当＝时等号成立，∴m2＋n2≥5，∴所求最小值为5. ab答案：5 8．函数y＝2cos x＋31－cos 2x的最大值为________．

解析：y＝2cos x＋3cos2x＋sin2x[22＋1－cos 2x＝2cos x＋322sin2x≤32]＝22.

6

cos x232当且仅当，即tan x＝±时，函数有最大值22. 2＝2sinx32答案：22 1499．已知x，y，z均为正实数，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值xyz为________．

解析：利用柯西不等式．

149由于(x＋y＋z)＋＋≥

xyzx·1x＋y·2y＋

z·32z＝36，

149所以＋＋≥36. xyz2121211114当且仅当x＝y＝z，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．∴＋49632xy9＋的最小值为36. z答案：36 10．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．

解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12. 答案：12 11．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y＋z＝________.

7

解析：根据柯西不等式可得，(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝14，所以要取到等号，必须满足＝＝，结合x＋2y＋3z＝14，xyz123可得x＋y＋z＝3147. 答案：3147

12．已知实数a、b、c满足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1. 求证：－23≤c≤1. 证明：因为a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，

所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. 由柯西不等式得：

(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2，

5(1－c2)≥(1－c)2，

整理得，3c2－c－2≤0，

解得－23≤c≤1.∴－23≤c≤1. 13．已知x，y，z∈R，且x－2y－3z＝4，求x2＋y2＋z2的最小值．解：由柯西不等式，得

[x＋(－2)y＋(－3)z]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x2＋y2＋z2)，

即(x－2y－3z)2≤14(x2＋y2＋z2)，

即16≤14(x2＋y2＋z2)．

所以x2＋y2＋z2≥8yz247，当且仅当x＝－2＝－3，即当x＝7，y＝－7，＝－67时，x2＋y2＋z2的最小值为87.

8 z

14．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求a的最值．

解：由柯西不等式，有

111(2b＋3c＋6d)＋＋≥(b＋c＋d)2，

236222即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2，

由条件可得，5－a2≥(3－a)2，

2b3c6d解得1≤a≤2，当且仅当＝＝时等号成立，

111236111代入b＝，c＝，d＝时，amax＝2，

23621代入b＝1，c＝，d＝时，amin＝1. 3315．设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝2x＋1＋3y＋4＋5z＋6 的最大值．

解：

根据柯西不等式

120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)] ≥(1×2x＋1＋1×3y＋4＋1×5z＋6)2，

故2x＋1＋3y＋4＋5z＋6≤230. 当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，

372822即x＝，y＝，z＝时等号成立，

6915此时umax＝230.

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