2.1.2 演绎推理教案公开课一等奖

2.1.2

演绎推理

1.理解演绎推理的意义.

2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.

3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.

1.演绎推理

含义

特点

2.三段论

大前提

小前提

结论

一般模式

已知的一般原理

所研究的特殊情况

根据一般原理，对特殊情况做出的判断

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“三段论”就是演绎推理.(

) (2)演绎推理的结论一定是正确的.(

) (3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.(

) (4)演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2.“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，该推理的大前提是(

) A．矩形都是四边形

B．四边形的对角线都相等

C．矩形的对角线相等

D．对角线都相等的四边形是矩形

解析：选C．该推理是省略大前提的演绎推理，因为相关的内容是“矩形”“对角线相等”，所以易得该推理的大前提是矩形的对角线相等.

3.自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理(

) A．正确

B．推理形式正确

C．两个自然数概念不一致

D．两个整数概念不一致

常用格式

M是P

S是M

S是P

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理

由一般到特殊的推理

答案：A 4.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin x2是正弦函数，所以f(x)＝sin x2是奇函数，以上“三段论”中的________是错误的. 答案：小前提

用三段论的形式表示演绎推理

将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B. (2)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列. 【解】

(1)等腰三角形的两底角相等，

∠A，∠B是等腰三角形的底角，

∠A＝∠B. (2)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，

则{an}为等差数列，

通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，

则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，

通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.

将演绎推理写成三段论的方法

(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提.

(2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提与小前提都省略.

(3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.

1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理(

) A．小前提错

C．正确

B．结论错

D．大前提错

小前提

结论

大前提

大前提

小前提

结论

解析：选C．在上述推理中，大前提、小前提都是正确的，推理的形式也符合三段论模式，因此结论也是正确的，这个推理是正确的.

2.(2017·贵阳高二检测)把下列推理写成三段论的形式. (1)因为△ABC三边的长依次为3，4，5，所以△ABC是直角三角形；

(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线. 解：(1)一条边长的平方等于其他两条边长的平方和的三角形是直角三角形，

大前提

△ABC三边的长依次为3，4，5，且32＋42＝52，

所以△ABC是直角三角形. (2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，

函数y＝2x＋5是一次函数，

所以函数y＝2x＋5的图象是一条直线.

演绎推理在证明代数中的应用

小前提

结论

大前提

小前提

结论

x－2

已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数. x＋1【证明】

如果在(－1，＋∞)上f′(x)＞0，

那么函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，

因为a＞1，

3所以f′(x)＝axln a＋＞0，

(x＋1)2所以函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.

(1)数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.

(2)在代数证明问题中，尤其是不等关系的证明，首先找到论证不等关系的一般性原理(如基本不等式等)，这是大前提，然后利用“三段论”进行推理.此时应注意不等式性质及定理成立的条件.

在锐角三角形ABC中，求证sin A＋sin B＋sin C

＞cos A＋cos B＋cos C. ππ证明：因为在锐角三角形中，

A＋B＞，所以A＞－B，

22πππ0，内，正弦函数是单调递增函数，所以sin A＞所以0＜－B＜A＜.又因为在222πsin即sin A＞cos B，①

同理，sin B＞cos C，②

sin C＞cos A.③以上①②③2－B＝cos B，两端分别相加，有sin A＋sin B＋sin C＞cos A＋cos B＋cos C.

演绎推理在证明几何中的应用

如图，D，E，F分别是△ABC中BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理. 小前提

结论

大前提

【证明】

因为同位角相等，两条直线平行，

∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，

大前提

小前提

所以FD∥AE. 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

DE∥BA，且FD∥AE，

所以四边形AFDE为平行四边形. 因为平行四边形的对边相等，

ED和AF为平行四边形AFDE的对边，

所以ED＝AF.

若本例中增加条件“∠C＝∠A”，证明：∠BFD＝∠BDF. 证明：因为同位角相等，两直线平行，

∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，

所以FD∥AE. 因为两直线平行，同位角相等，

FD∥AE，且∠BDF与∠C是同位角，

所以∠BDF＝∠C. 又因为∠C＝∠A，∠BFD＝∠A

所以∠BFD＝∠BDF.

用三段论证明几何问题的一般步骤

(1)理清楚证明命题的一般思路.

(2)找出每一个结论得出的原因.

(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.

结论

大前提

小前提

结论

大前提

小前提

结论

大前提

小前提

结论

大前提

小前提

结论

小前提

结论

即在几何证明问题中，每一步实际都含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提.把一般性原理应用于特殊情况，从而得到结论.

已知空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点.

求证：EF∥平面BCD. 证明：三角形的中位线平行于底边，

因为E，F是AB，AD的中点，

所以EF是△ABD的中位线，

所以EF∥BD. 小前提

结论

大前提

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与此平面平行，

因为EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

EF∥BD，

所以EF∥平面BCD.

1.演绎推理的三个特点

大前提

小前提

结论

(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实. (2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的. (3)演绎推理是由一般到特殊的推理. 2.(易误防范)演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.很多时候结论本来很容易就看出是一个成立的命题，而没有根据大前提来推导，那么就是没有遵循运用三段论的推理原则，就是错误的.

1.指数函数y＝ax(a＞1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数.以上推理(

) A．大前提错误

C．推理形式错误

B．小前提错误

D．正确

解析：选B．此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B．

2.“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是(

) A．实数分为有理数和无理数

B．π不是有理数

C．无理数都是无限不循环小数

D．有理数都是有限循环小数

解析：选C．用三段论推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据.因为无理数都是无限不循环小数，π是无限不循环小数，所以π是无理数.故大前提是无理数都是无限不循环小数. 3.下列三句话按“三段论”模式排列顺序为______. ①y＝cos x(x∈R)是三角函数；

②三角函数是周期函数；

③y＝cos x(x∈R)是周期函数.

答案：②①③

4.将下列的演绎推理写成三段论的形式. (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直. (2)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1，2，3，…，n是等差数列，所以数列1，2，3，…，n的通项公式具有an＝pn＋q的形式. 解：(1)每个菱形的对角线都相互垂直，

正方形是菱形，

所以正方形的对角线相互垂直. (2)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，

大前提

数列1，2，3，…，n是等差数列，

所以数列1，2，3，…，n的通项公式具有an＝pn＋q的形式. 小前提

结论

[A

基础达标] 1.下面几种推理过程是演绎推理的是(

) A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被同一条直线所截形成的同旁内角，所以∠A＋∠B＝π

B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽地区也蕴藏着丰富的石油

C．由6＝3＋3，8＝3＋5，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和

11D．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋a(n≥2)，由此归纳出数列{an}的通项公式

2n－1解析：选A．A中，由一般结论“两条直线平行，同旁内角互补”推出特例“∠A＋∠B＝π”是演绎推理；B、C、D中，均是由特殊到一般或特殊的推理，是合情推理.

ππ－π，π－，是三角函数，2.“三角函数是周期函数，y＝tan x，x∈所以y＝tan x，x∈2222是周期函数.”在以上演绎推理中，下列说法正确的是(

) A．推理完全正确

B．大前提不正确

C．小前提不正确

D．推理形式不正确

ππ－，只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函解析：选C．y＝tan x，x∈22数，所以小前提错误，导致整个推理结论错误.

3.在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；大前提

小前提

结论

②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提.其中正确的命题是(

) A．①④

C．①③

B．②④

D．②③

解析：选A．根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确.

4.对于推理：若a>b，则a2>b2，因为2>－2，则22>(－2)2，即4>4，下列说法正确的是(

) A．大前提错误

C．推理正确

B．小前提错误

D．不是演绎推理

解析：选A．当a，b同正时，a>b⇒a2>b2.即若a>b，则a2>b2不一定成立.因此推理过程中大前提错误.故选A．

5.《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足.”上述推理用的是(

) A．类比推理

C．演绎推理

B．归纳推理

D．一次三段论

解析：选C．这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式.

6.求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义，即a≥0，小前提是log2x－2有意义，结论是______. 解析：由三段论的形式可知，结论是log2x－2≥0.

答案：log2x－2≥0 7.以下推理过程省略的大前提为：____________. 因为a2＋b2≥2ab，

所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab. 解析：由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.

答案：若a≥b，则a＋c≥b＋c

8.已知函数f(x)＝a－1，若f(x)为奇函数，则a＝______. 2＋1x解析：因为奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0，而奇函数f(x)＝a－11为R，所以f(0)＝a－0＝0，所以a＝.

22＋11的定义域2＋1x

1答案：

29.已知在梯形ABCD中(如图)，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线.求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.

证明：因为等腰三角形两底角相等，

△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，

所以∠1＝∠2. 因为两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，

∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，

所以∠1＝∠3. 因为等于同一个角的两个角相等，

∠2＝∠1，∠3＝∠1，

所以∠2＝∠3，即CA平分∠BCD. 同理可证BD平分∠CBA.

10.(2017·惠州检测)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明：数列{an－n}是等比数列. (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，

所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.

又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列.

(2)由第一问可知an－n＝4n1，所以an＝4n1＋n.

－－大前提

小前提

结论

大前提

小前提

结论

大前提

小前提

结论

4n－1n(n＋1)所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.

32[B

能力提升] 11.f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf

′(x)＋f(x)＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则必有(

) A．bf(a)＜af(b)

C．af(a)＜f(b)

B．af(b)＜bf(a) D．bf(b)＜f(a) 解析：选B．构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x).由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减.若a＜b，则F(a)＞F(b)，即af(a)＞bf(b).又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负

可导函数，所以bf(a)＞af(a)＞bf(b)＞af(b).故选B．

x2＋112.关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：

|x|①其图象关于y轴对称；

②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；

③f(x)的最小值是lg 2；

④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；

⑤f(x)无最大值，也无最小值. 其中所有正确结论的序号是______. 解析：显然f(－x)＝f(x)，

所以f(x)为偶函数时，其图象关于y轴对称.

x2＋11x＋.

当x＞0时，f(x)＝lg＝lgxx1设g(x)＝x＋，可知其在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

x所以f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.

f(x)min＝f(1)＝lg 2.

因为f(x)为偶函数，所以f(x)在(－1，0)上是增函数.

答案：①③④

13.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，D、E是垂足，求证：

(1)△ABD是直角三角形；

(2)AB的中点M到D、E的距离相等. 证明：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，

又因为在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°，

所以△ABD是直角三角形. (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

而M是Rt△ABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线，

1所以DM＝AB. 21同理，EM＝AB.

2大前提

小前提

结论

大前提

小前提

结论

因为等于同一个量的两个量相等，

11又因为DM＝AB，EM＝AB

22所以DM＝EM，即M到D、E的距离相等. 大前提

小前提

结论

14.(选做题)已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义，单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y). (1)求证：f(x2)＝2f(x)；

(2)求f(1)的值；

(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围. 解：(1)证明：因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，

所以f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x).

(2)因为f(1)＝f(12)＝2f(1)，

所以f(1)＝0.

(3)因为f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2＝2f(2)＝f(4)，

且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

x＞0，所以x＋3＞0，解得0＜x≤1.

x(x＋3)≤4，所以x的取值范围为(0，1].