3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教案2

复数的几何意义及应用

一、教学目标：

(一)知识与技能: 通过学***面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。

(二)过程与方法:1、通过问题导引，探究学习，提高学生数学探究能力; 2、提高数形结合能力；培养对应与运动变化的观点；

3、提高知识之间的理解与综合运用能力。

(三)情感、态度、价值观:通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。

二、教学重点：复平面内两点间距离公式的应用

三、教学难点：复平面内两点间距离公式的应用

四、教学工具：计算机、投影仪

五、教学方法：探究式教学法、问题解决教学法

六、教学过程：

(一)设置情境，问题引入

问题1：复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z= a+bi（a，b∈R），连结OZ，则点Z，OZ

，复数z= a+bi（a，b∈R）之间具有一一对应关系。

直角坐标系中的点Z(a,b)

一一对应

复数z=a+bi

一一对应

一一对应

向量O

Z问题2：∣z∣的几何意义？若复数z= a+bi（a，b∈R）对应的向量是OZ，则向量是OZ的模叫做复数z= a+bi（a，b∈R）的模，|z|=0Z=| a+bi |=a2b2（a，b∈R）。

问题3：∣z1-z2∣的几何意义？两个复数的差z1z2z所对应的向量就是连结Z1Z2并且方向指向（被减数向量）的向量, dz1z2Z2Z1(x1x2)2(y1y2)2

(二)探索研究

根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：

1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设Z(x,y)以Z0(x0,y0)为圆心，

r(r0)为半径的圆上任意一点, 则ZZ0r

(r0)

（1）该圆向量形式的方程是什么?

ZZ0r(r0)

（2）该圆复数形式的方程是什么?

zz0r

(r0)

（3）该圆代数形式的方程是什么?

(xx0)2(yy0)2r2(r0)

2．椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于Z1Z2)的点的集合(轨迹) 设Z(x,y)是以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点, 则ZZ1ZZ22a

(2aZ1Z2)

（1）该椭圆向量形式的方程是什么? ZZ1ZZ22a

(2aZ1Z2)

（2）该椭圆复数形式的方程是什么? zz1zz22a

(2aZ1Z2)

变式:以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为端点的线段

（1）向量形式的方程是什么? ZZ1ZZ22a

(2aZ1Z2)

（2）复数形式的方程是什么? zz1zz22a

(2aZ1Z2)

3．双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的差的绝对值等于

常数(小于Z1Z2) 的点的集合(轨迹) 设Z(x,y)是以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为焦点，2a为实轴长的双曲线的上

任意一点,

则ZZ1ZZ22a

(2aZ1Z2)

（1）该双曲线向量形式的方程是什么? ZZ1ZZ22a

(2aZ1Z2)

（2）该椭圆复数形式的方程是什么? zz1zz22a

(2aZ1Z2)

变式:射线

（1）向量形式的方程是什么?

ZZ1ZZ22a

(2aZ1Z2)

（2）复数形式的方程是什么?

zz1zz22a

(2aZ1Z2)

变式：以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为端点的线段的垂直平分线

（1）该线段向量形式的方程是什么? ZZ1ZZ22a(2a0)即ZZ1ZZ2

（2）该线段复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2a0)即zz1zz2

（三）应用举例

例1．复数

z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，

则复数z 所对应的点

Z 的轨迹是（

）

（A）

双曲线

（B）双曲线的右支

（C）线段

（D）射线

答案：（D）一条射线

变式探究：

（1）若复数z 所对应的点

Z 的轨迹是两条射线，复数

z 应满足什么条件？

（2）若复数z 所对应的点

Z 的轨迹是线段，复数

z 应满足什么条件？

（3）若复数z 所对应的点

Z 的轨迹是双曲线的右支，复数

z 应满足什么条件？

（4）若复数z 所对应的点

Z 的轨迹是双曲线，复数

z 应满足什么条件？

（5）若复数z 所对应的点

Z 的轨迹是椭圆，复数

z 应满足什么条件？

（6）若复数z 所对应的点

Z 的轨迹是线段的垂直平分线，复数

z 应满足什么条件？

例2．若复数z满足条件z1，

求z2i的最值。

解法1：（数形结合法）由z1可知，z对应于单位圆上的点Z；

z2i表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。

由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时，z2imin1,此时z=i；

当点Z运动到B（0，-1）点时，z2imax3, 此时z=-i。

解法2：（不等式法）z1z2z1z2z1z2

z2iz2iz2i

z1,2i2，1z2i3

解法3：（代数法）设zxyi(x,yR)，则x2y21

22z2ixyi2ix(y2)54y



y1，即1y1

当y1，即zi时，z2imin1；

当y1，即zi时，z2imax3=3, 解法4：（性质法）z2i2(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)

zz2(zz)i454yi

y1，即1y1

当y1，即zi时，z2imin1；

当y1，即zi时，z2imax3,

变式探究：

（1）zimin

，zimax

；0；2 （2）z1311i

，zi

；,

222min2max（3）z22imin

，z22imax

；221;221

（4）z1imin12111

，z1i

；2;2

222max例3．已知z1、z2∈C ，且z11，

若z1z22i，则z1z2的最大值是（

）

（A）６

（B）５

（C）４

（D）３

解法1：z1z2z1(2iz1)2z1i

z1imax2

z1z2的最大值是4 解法2：z1z22i,

z12iz2

z11

2iz21,即z22i1

z11表示以原点为圆心，以1为半径的圆；

z22i1表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。

z1z2的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。

(四)反馈演练：

1．

复数z满足条件∣z+i∣+∣z-i∣=２，

则∣z+i-1∣的最大值是________ 5

最小值是__________. 1 2．

复数z满足条件∣z-2∣+∣z+i∣=5，

则∣z∣的取值范围是（ B ）

2525,5,2(A)5 (B) 5 (C)1,5 (D) 1,2

xy503．

已知实数x,y满足条件xy0，zxyi(i为虚数单位），

x3则|z12i|

的最大值和最小值分别是 ．226,(五)总结:

1.今天我们探索研究了什么?

2.你有什么收获?

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