1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教学评价实录

必修2《

柱体、锥体、台体的表面积》教学设计

一、教学目标

1．知识与技能

(1)通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系。

(3)培养学生空间想象能力和思维能力。

2．过程与方法

(1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状。

(2)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体三者间的面积和体积的关系。

(3)在解决问题的过程中渗透化归的数学思想，培养学生通过化归解决问题的能力和意识，体验合情推理的方法和作用。(在解决后面的问题时能主动用化归思想。) 3．情感、态度与价值观

(1)通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程对自己空间思维能力的影响，从而增强学习的积极性。 (2)培养学生质疑的意识，以促进学生思维严谨性的形成。(学生并不习惯于质疑，可以通过教师的质疑逐步引导，培养理性的精神。)

二、学情分析

学生已具备一些直观的对简单几何体的认识，理性思维还不很成熟，所以在实际教学时，要使学生对已有知识经验的认识上升到新的高度，从而激发学生进一步学习的欲望。

三、教材分析

1．本节的作用和地位

本节内容是高中的一个重要内容，它能使学生的认识在理性方面有所提高，通过本节内容的学习可使学生掌握一种重要的数学思想方法——化归，因此本节内容十分重要。

2．本节主要内容

该部分内容中有一些是学生熟悉的，比如正方体、长方体、圆柱、圆锥的表面积和体积。其他空间几何体——一般棱柱、棱锥、棱台和圆台的表面积、体积问题是本课时要解决的。在解决这些问题的过程中，首先要对学生已有的知识进行再认识，提炼出解决问题的一般思想——化归的思想，总结出一般的求解方法，在此基础上通过类比获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类比等思想方法的应用，这也是学习下一章内容时要用的基本方法。

3．重点、难点分析

在解决具体问题时，要用相似三角形求得线段的长，这是本课时的难点。特别是对于基础比较好的学生，如果要完成教材旁白中所说的证明棱台的体积公式，其难度也是比较大的。

1

因此确定本课时的教学重点、难点是：

教学重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，培养学生通过化归解决问题的能力和合情推理的能力。

教学难点：台体的表面积与体积公式推导，以及“特殊到一般”认识规律和“创造条件促成事物的转化”思想在推导公式过程中的渗透与应用。

四、教学理念

课程标准强调学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。因此教学中要“以人为本”，积极引导学生参与到知识获得的过程中，让学生获得分析问题、解决问题的能力。

五、教学策略

课程标准的要求是：了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积计算公式(不要求记忆公式)。而且，新课程的编排体系是从整体到部分，从宏观到微观，也即在本课时学习之前学生对空间中点、线、面的位置关系尚无理性认知，所以，在本课时学习过程中最好通过直观感知、合情推理的方式展开教学。

六、教学过程

本课时研究的是柱体、锥体、台体的表面积。空间几何体的表面积是几何体表面的面积，即几何体各个面的面积的和。

问题1 ：自主预习

预设的结果：学生可以完成表1—2中正方体、长方体的表面积，圆柱、圆锥的侧面积、表面积。

在教师的引导下，学生进一步明确其中蕴涵的空间几何体问题可以转化为平面几何问题求解的化归思想方法，运用这种方法时，第一步是要得到空间几何体的展开图；第二步是依次求出各个平面图形的面积；第三步将各平面图形的面积相加即可。

实际情况：学生在写圆锥的侧面积时因为对扇形面积公式中字母含义认知不清，所以出现错误。于是对比表1—l进一步解决了利用弧长和半径表示的扇形的面积公式，之后又利用扇形面积公式求得圆锥的侧面积。

在基础比较差的班级上课时，学生只能写出正方体和长方体的表面积和体积。

学生计算正方体、长方体的表面积时由于熟悉并没有展开，而是直接计算求解，但是在回答问题“是否蕴涵有上述化归思想?”时学生还是能很清楚地解释的。

备用图

2

图2—1 正方体及其展开图 图2—2 长方体及其展开图

图2—3 圆柱体及其展开图 图2—4 圆锥及其展开图

问题2 (1)类比上述求法，利，用化归的数学思想方法，完成练习1和练习2；

机动练习1 如图2—5，已知三棱锥S—ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积。

图2—5 图2—6

机动练习2 如图2—6，四棱台的上、下底面均是正方形，边长分别是8 cm和14 cm，侧棱长都是5 cm，求它的侧面积。

(2)思考如何求出任意一个棱柱、棱锥、棱台的表面积?它与哪些平面图形有关系?之后在表2—2中写出求这几类空间几何体的表面积的思路。

(设计意图：巩固已有方法。具体问题是学生思维的开始，具体问题可以缩短学生进入解题状态的时间， 同时通过具体问题的解决使学生有切实的感受，提供了推广的基础。) 3

活动方式：学生独立完成，展示交流点评。

预设的结果：先完成练习1和练习2，之后抽象得出一般解法。

实际的情况：学生在解决问题时，思路比较顺畅，几乎不存在问题，但是实际计算时出1a3a现了问题，表现在计算正三角形的面积时出错：，

于是求得最后结果23a2，还222有学生的计算结果是23a；计算梯形的面积时出现的错误是：错认为5是梯形的高。在练习2中只要求计算梯形的侧面积，但是有学生并没有认真审题，仍然计算全面积。

回答如何计算棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积时学生的思路都没有问题。

问题3 类比上述方法，求圆台的侧面积和表面积，数据如图2—7所示。

图2—7 圆台体及其侧面展开图

(设计意图：巩固已有方法，解决新问题。)

活动方式：学生独立完成，展示讨论，形成正确的解题步骤。

预设的答案：(略) 实际的情况：学生的思路没有问题，但是具体的计算有问题，表现在两个方面：第一是不能选择引入简单的变量，比如有学生设OBl，使得计算复杂；第二是根据三角形相似列rOA式时出错，比如有学生列出的比例式是等。

rl 针对上述情况实际教学时，将学生写的解答过程在展台上展示，通过提问“对应边是谁”，纠正错误。

问题

结合圆柱、圆锥及圆台的结构特征，再观察它们的表面积公式、体积公式，你能发现什么关系? (设计意图：从运动变化的观点分析三者之间的关系。) 预设的答案：

4

柱体、锥体、台体的体积之间的关系：

实际情况：只完成了表面积之间的关系。由于棱台的体积公式没有在课堂上推导，所以没有要求学生思考体积之间的关系。

问题10 (1)通过本节课的学习你有什么收获，请从数学知识、思想方法、解决问题的经验等方面谈谈。(2)在本节课的学习过程中你有哪些疑问或者质疑?

(设计意图：问题(1)是引导学生对本课时的学习进行归纳总结； 问题(2)引导学生对合情推理过程进行质疑，培养学生思维的严谨性，同时激发学生进一步探究的好奇心，为第五章的学习埋下伏笔。) 活动方式：学生独立思考，汇报交流。

实际情况：学生能小结出化归的多种途径，但是谈到质疑，学生只提出一个问题：还没有讲棱台的体积怎么求。对于这个问题我的回答是：“为什么没有讲?”学生能类比解决。

七、目标检测作业

作业：P27练习，习题1．3A组1，2，3。

(设计意图：初步运用公式解决问题。设计理念：将作业作为课堂教学的延伸、联结和必要补充，而不单是模仿训练。) 八、教学反思

1.以研究方法及学生的认知发展规律为主线，旨在发挥数学的教育功能

根据上述的设计思路，这一节2课时的划分办法是：第一课时研究柱体、锥体、台体的表面积，及教材中的例1；第二课时，解决教材中的例2、例3及相关的公式应用问题，之后完成对球的表面积与体积的学习。

这个设计思路在实际教学中得以充分的实现，学生从一开始对“化归”思想的陌生，不知道该如何解释“类比”，及化归的具体办法，可见他们已经能将之显性化。通过本课时的学5

习，学生应该比较清楚立体几何初步学习的基本思路，对后继的学习有帮助。

2．注重先行组织者的作用——解释研究方法

在实际教学时，引导学生回忆本章前面学习了哪些知识，其中蕴涵着什么数学思想。通过复习揭示了具体知识中蕴涵的化归思想，这是本课时的核心思想，它贯穿本课时教学的全过程，很好地发挥了先行组织者的作用。

3．注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注重设计与生成的有机结合

在学生基础较差的班级上课时，确实困难，因为有学生连正方体、长方体的表面积和体积都写不对，更不用说写出圆柱、圆锥的表面积与体积了。怎么办? 落实与完美不可兼得时选择“断臂维纳斯”之美。于是在课堂上“就地卧倒”，和学生一起填写表格，一点一点地落实，并且是看着学生把该填的都填上，否则这一节课就只能是“教师讲课”了。在这一节课上没有按照预设的完成任务，但是学生是有收获的，听课教师也是有收获的。听课教师说听了这节课后要写文章“普通班学生数学缺乏兴趣，问题出在哪里?”或者“如何真正针对普通班学生数学缺乏兴趣，落实因材施教原则”。学生“感觉收获特别大!”“整节课，学生在一种愉快而又紧张(他们怕被提问但又想被问)的思考中，结束了这节课的学习。”

在教学实践中，注重学生的参与，并且是思维层面的参与，并通过环环相扣的问题串实现。什么是思维层面的参与，可以通过一个具体的事例解释：比如求圆台的侧面积，笔者的处理方式是问题提出后，教师“闭嘴”，由学生独立思考解决，之后再交流。常见的教学方式是，提出问题之后教师先分析思路，确定解法之后由学生完成。后一种方式中学生活动的思维含量较低，属于“苦力”行为，而且容易养成学生的依赖性，导致在考试中“不怕难题怕新题的现象”。在评课时，授课所用班级的原课任教师也说到，“学生的配合并不是太好，原因是学生不习惯这种教学方式。”事实上只有一开始就把问题交给学生，才能真正发现问题，生成教学，才能培养学生独立性，才能培养学生分析问题的能力。

6