二 用数学归纳法证明不等式教学内容

《数学归纳法（第一课时）》教学设计

一、教材内容分析

人教版《普通高中课程标准试验教科书·数学》（A 版选修2-2）第二章“推理与证明”的主要内容是数学的基本思维过程，也是人们生活和学习中经常使用的思维方式．该章内容分为三小节：合情推理和演绎推理、直接证明和间接证明、数学归纳法．通过合情推理归纳出的有一类特殊问题——与正整数n有关的命题——用之前学习的方法难以解决，从而我们产生学习“数学归纳法”的必要性．学习了数学归纳法后，学生可以解决部分“证明n取无限多个正整数命题成立”的问题．

本节内容编写思路是：问题情境引发数学归纳法的学习欲望——多米诺骨牌蕴含的原理分析——用多米诺骨牌原理解决数学问题——从具体问题中概括出数学归纳法．在这个过程中，学生首先需要从生活实例中抽象出数学原理，然后需要利用该原理对数学问题进行严格证明．因此，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力的好素材．

二、学情分析

高二学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力．但对于数学归纳法，学生理解和接受它是一件很困难的事情，因为学生缺少体验和认知基础．所以需为学生创设与数学归纳法有类似想法的实际体验．

三、教学目标

1. 通过具体情境，体会学习数学归纳法的必要性；

2. 借助生活实例和体验操作，感知数学归纳法的原理，体会数学与生活的紧密结合性；

3. 通过从解决具体数学问题的思维中概括出数学归纳法，训练学生的抽象思维能力，在证明过程中，培养学生严密的推理能力．

四、教学重、难点

教学重点：①通过游戏模型和生活实例，了解数学归纳法的基本思想；②掌握数学归纳法的证明步骤及每个步骤的作用．

教学难点：①如何类比多米诺骨牌原理解决数学问题，了解数学归纳法的基本步骤；②如何理解数学归纳法中第二步的本质——建立递推关系．

五、教学策略

基于上述分析，我采取以下的教学策略．

1：“设置问题串”教学策略．在列举模型反思游戏过程时，设置具有启发性的问题，逐步推进对思想方法的理解，为本节课教学重点作铺垫；在类比抽象的过程中，设置类比问题，帮助学生类比多米诺骨牌原理解决数学问题，突破教学难点①；在形成数学归纳法概念后，设置反思问题，了解数学归纳法第二步骤的作用，明确第一步骤的起点问题，加深对数学归纳法的理解，突破教学难点②；课堂小结时，利用问题串，帮助学生回顾知识要点．

2：“螺旋上升”教学策略．先通过具体情境的探究，引发学生求知欲；再通过多米诺骨牌初步体会和认识数学归纳法的雏形；然后类比这种思想，解决数学问题；进而从中提炼出数学归纳法；通过对数学归纳法的步骤反思，对步骤的本质进行认识和剖析；通过例题教学，帮助学生掌握数学归纳法步骤和易错点，以此逐步完成对数学归纳法的深刻理解．

六、教学过程

教学流程

情境：将若干个小立方块如图所示摆放，第1堆摆放1个，第2堆摆放9个……以此类推

设计意图

大纲版教材采用的引入例题是：求证

1222+32n2

1nn12n1．

6该引入方式计算前几项后，学生不容易归纳得到结论，直接给出命题证明创设情境引入新课

……问题1：第3堆、第4堆、第5堆各有多少个小方块？

问题2：第n堆有多少个小方块？你能得到怎样的等式？

1323+33n3122nn1

4[来源:Z.xx.k.Com]

显得较为突兀；课标版教材引入例题是

a11，an1an

1an在数列的学习中，学生已2n，能够解决该引例问题，较预设：学生有可能得到1323+33提示学生进行化简．

n3123难说明学习数学归纳法是必要的．该例题的设计旨在利用先行组织者，引问题3：如何验证你得到的结论正确与否呢？

总结：这个问题无法利用已学知识解决，因此，我们需要一种新的证明方法，这就是我们今天要学习的数学归纳法．（板书）

发学生认知冲突，明确学习数学归纳法的必要性，激发学生求知欲．在学习数学归纳法之前，先来看一个小游戏：多米诺骨牌．2011年12月31日晚，中国小伙子刘杨成功以321197枚多米诺骨牌的成绩，刷新了多米诺骨牌个人吉尼斯世界纪录．随着一段简短的视频，我们一起感受一下当时壮观的场面．

（播放视频30s）[来源学科网Z,X,X,K][来源学科网ZXXK]

利用视频引出多米诺骨牌游戏，激发学生学习兴趣．同时，利用中国人创造吉尼斯纪录视频，激发学生爱国情怀．

利用游戏体验，激发学生求知兴趣，让学生动手操作，锻炼学生动手能力．学生参与体验，才能更好地从自身体验中总结过程，为后面抽象原理做铺垫．

反思游戏过程，让学生亲身经历多米诺骨牌原理的提炼过程，培养学生抽象思维和概括能力；利用问题，逐步推进对思想方法的理解．问题1旨在帮

从视频上看多米诺骨牌游戏是很震撼的，我们自己也可以动手活动体验探究原理[来体验一下多米诺骨牌游戏过程．

游戏道具：折叠的扑克牌

游戏规则：分组活动，每组8张扑克牌

①将本组所有折叠的扑克牌竖直摆放；

②摆放好后，推倒其中一张扑克牌．

游戏判定：所有扑克牌倒下即为成功．

请结合刚才的游戏体验，思考并讨论下列问题：

问题1. 我们把手动推到的扑克牌称作“第1张扑克牌”，第1张扑克牌倒下后，其他扑克牌如何倒下的？

问题2. 如果任给n张扑克牌排成一列，要保证所有扑克牌全部倒下，需要满足哪些条件？

（小组代表发言）

源学§科§网][来源学科网]

预案：若学生回答相邻两张扑克牌相隔不能太远．

预设追问：不能相隔太远目的是什么？

预案：若学生忽略第1张扑克牌倒下的条件

总结：任给n张一列扑克牌倒下的条件

（1）第1块扑克牌倒下；

（2）第k张扑克牌倒下导致第k+1张扑克牌倒下．

预案：学生在总结第（2）步时，易用自然语言描述：任意一张牌倒下导致后一张牌倒下．

预设追问：请用数学语言表述“任意一张”和“后一张”．

回到引入情境中需要证明的猜想

12“132333n3n2n1对任意的正整数n成立”

4问题：你能否将解决“任给n张扑克牌全部倒下”的思想运用到“等式对任意的正整数n成立”的证明中呢？

预案：稍停，观察有无学生能够解决该问题，若无，则给出提示、问题1和2；若有，让学生陈述，教师点评总结．

提示：上述猜想换一个说法“任意正整数n等式成立”，两个的条件．

问题1：类比“任给n张扑克牌全部倒下”的两个条件，“任意正整数n等式成立”需要满足什么条件？

类比抽象形成概念

n张扑克牌全部倒下

第1块多米诺骨牌倒下

第k块多米诺骨牌倒下导致第k+1块多米诺骨牌倒下

任意正整数n等式成立

?

? 助学生思考相邻扑克牌的递推关系；问题2旨在帮助学生总结两个条件，预设追问：若不手动推到任何一张扑克牌，扑克牌会倒下吗?

学生易忽略起点问题．

教师总结，提炼要点

利用问题串，类比多米诺为数学问题的证明作铺垫．

问题说法类似．我们已经找到了使“任给n张扑克牌全部倒下”骨牌原理解决数学问题，问题2：要证明猜想成立，现在需要解决什么问题？

问题3：验证上述两个条件是否满足，完成对猜想的证明．

（学生思考→小组讨论→投影成果→教师PPT规范格式）

证明：（1）当n1时，左边1312右边，结论成立；

（2）假设当nk时，命题成立，即

12132333k3k2k1

4学生通过思考讨论，初步了解数学归纳法的步骤；3当nk1时，左边132333k3k1

同时，在证明过程中，培养学生逻辑推理能力．

11232k2k1k1k1k24k4

44122k1k2右边

4因此，若nk时命题成立，可推出nk1时命题成立．

由（1）、（2）可得，132333整数n成立．

12n3n2n1对任意正4问题：请概括上述证明过程的步骤．

总结：（学生总结，教师板书数学归纳法步骤）

任给n张扑克牌全部倒下

第1块多米诺骨牌倒下

第k块多米诺骨牌倒下→结合上述两步，可知所有多米诺骨牌都能倒下

任意正整数n等式成立

（1）n1时命题成立；

（2）假设nk时命题成立验结合上述两步，断定命题对任意的正整数成立．

学生总结解题步骤，形成数学归纳法的概念，明确其步骤，同时，培养学生概括能力．

第k+1块多米诺骨牌倒下

证nk1时命题成立．

上述证明问题的步骤方法即是数学归纳法．

利用上述两个证明步骤，可以建立命题链：

n=1成立

反思1：第（2）步为什么要假设k成立？假设k成立为什么可以作为条件使用？

提示：解决这个问题，需要明确（2）证明的是什么？

总结：（2）本质证明的是递推关系（上述链表中的箭头）

为了证明递推关系，构造了一个命题，假设k成立是所构造命题的条件．

（2）证明了递推关系，（1）给出了起点问题．接下来我们研究一下有关起点的问题．

辨析概念深化理解

n=2成立

n=3成立

n=4成立

n=5成立

…

反思2：（1）用数学归纳法证明不等式

通过反思问题，辨析数学111第一步需要验证什么？

归纳法第一步起点问题，1n1nn*,n1，232明确数学归纳法第二步nn3（2）用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为，2的作用，深化对数学归纳第一步需要验证什么？

法概念的理解．

总结：利用数学归纳法证明时，第一步从等于几开始起，要根据具体问题而定．

问题：从这两个问题中，你觉得刚才得到的数学归纳法可以怎样的修改呢？

预设追问：若(1)修改为nn0命题成立，最后得到什么结论? 数学归纳法步骤可总结为：

（1）证明当nn0（n0（2）假设nk（kno,k时命题成立；

*）时，命题成立；

*）时命题成立，证明当nk1

结合上述两步，断定命题对任意的正整数nn0成立．

总结：数学归纳法可用于证明与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题，但是并不是所有与正整数n有关的数学命题都可以用数学归纳法证明．

1预设反例：an1单调增问题不能用数学归纳法证明．

nn例. 利用数学归纳法证明

1222321n2nn12n1

6例题呈现巩固知识

对任意正整数n成立．

（学生板书→学生修改→教师点评修改）

证明：（1）当n1时，左边=右边，命题成立．

（2）假设当nk时，命题成立，即1222321k2kk12k1．

6学生通过运用数学归纳法，模仿格式规范证明，检验数学归纳法步骤掌握情况，在证明过程中，培养严谨的数学推理能力．

12当nk1时，左边kk12k1k1

6112k27k6k1k22k3k1

6612k11右边

k1k26因此，若nk时命题成立，可推出nk1时命题成立．

综合（1）（2）步，可知命题对任意正整数n成立．

课堂练习明确易错点

课堂小结回顾要点

(备用) 利用数学归纳法判断

展示利用数学归纳法证n1n2nn2n132n1

明的易错点，说明在证明递推关系时注意添加项问题．

是否对任意正整数n成立？

预设错误：nk1时，添加项错误

通过本节课的学习：

问题1. 你能说出数学归纳法的步骤是怎样的吗？

问题2. 数学归纳法每一步的作用是什么？

问题3. 数学归纳法适用于哪类数学证明问题？

（学生总结）

利用问题串，帮助学生回顾本节课知识要点．

七、板书设计

（1）证明n=n数学归纳法

0命题成立：

媒体展示区域

证明起点：

课堂引入猜想

132333k3122kk14

（2）假设n=k命题成立，

证明递验证n=k+1命题成立．

推关系：

综合（1）（2）可得，命题对于任意正整数n≥n0成立．

学生展示区域