探究与发现 组合数的两个性质优质课一等奖教案

1.2.2组合（第二课时）

上课班级：高二（7）班

上课时间：2017.3.29

授课教师：刘玲

教材分析：本节课在学习了两个计数原理后，学习的两类特殊的计数问题：排列与组合，排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关，组合数公式的推导要依据排列数公式；本节课为下一节的学习做了准备，下一节二项式系数是一组有规律的组合数，在推导二项式定理、研究二项式系数的性质时都用到了组合数的性质，在求等可能事件的概率时，常涉及组合数的计算。

学情分析：学生已学习了分类加法计数原理与分类乘法计数原理，以及排列与组合两类特殊的计数原理问题的计数公式后，来应用它们解决组合数相关的计数问题，及探究其性质。

教学目标：

1.知识与技能：掌握与应用组合与组合数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤与方法；掌握组合数的两个性质并学会应用。

2.过程与方法：通过归纳与类比方法得到组合的两个性质，让学生有直观感；通过讲练结合让学生掌握解决组合问题中的直接法（分类讨论）与间接法。

3.情感、态度与价值观：增强学生的合情推理的思想；培养学生分类讨论与间接法的思 维；体验数学在生活中的应用。

教学重点：组合数的两个性质的理解与掌握；利用两个原理及组合知识解决实际问题。

教学难点：组合数的两个性质的理解与掌握；

教学过程：

一、

复习引入：

1．组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2．组合数：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n

个不同m元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示．

．．．Anmn(n1)(n2)L(nm1)3．组合数公式：Cm

m!Ammn或Cnmn!0(n,mN,且mn)

规定: Cn1.

m!(nm)!设计意图：通过复习组合的定义和公式，加深学生对上节课知识的巩固，让学生进一步理解组合的概念。

二、

探究与发现

探究1：计算下列各组组合数的值，你发现了什么？你能推理出一般性质吗？你如何解释你的推理？

12(1)C3和C3；23(2)C5和C5；73(3)C10和C10

122373答案：（1）C3

；（2）C5

；（3）C10

3C310C5120C10提问学生，并让学生总结归纳出一般性质

mnm组合数的性质1：Cn．

Cn 计数原理的意义是：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n



m个元素的每一个组合一一．．对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n



m个元．．mnm素的组合数，即：Cn．在这里主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思Cn想

x3x8；(2)解方程；

C28C28108n练习2 (1)若CnCn,则C20的值为

答案：1、190

2、x=9或x=4

设计意图：巩固加深性质1的理解和应用

探究2：（1）一个口袋内有7个红球，1个黑球，从中取出的3个球，有多少种取法？

（2）你还有其他方法吗？

332答案：（1）C8

（2）C7

C7332我们发现，C8为什么呢？你能推理出一般性质吗？

=C7+C7我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球。因此根据分类计数原理，上述等式成立。

mmm1组合数的性质2：Cn．

1＝Cn+Cn计数原理的意义：一般地，从n+1个不同元素（其中一个特殊）中取出m个元素的组合数是mm1个，一类不含有特殊元素共有Cn1，这些组合可以分为两类：一类含有特殊元素共有Cnm个．

Cn设计意图：两个性质的学习主要体现从特殊到一般的归纳思想，采用了分类讨论的思想，让学生自己探究得到，增强了学生的分析推理能力。

练习2：

计算

(1)C99C99;(2)C2C3C4C99

答案：1.（1）120 （2）120 2. x=6或7

设计意图：巩固加深性质2的理解和应用

三、

组合的简单应用

232222

例1．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？

(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？

解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有

C31001009998= 161700 （种）. 1231 (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C2种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格212品的抽法有C98种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 C2=9506(种).

C98(3）解法

1：（直接法）

从

100 件产品抽出的

3 件中至少有

1 件是次品，包括有112件次品和有

2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有C2种，C98因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有

121+C2C2C98C298=9 604 （种） .

解法2

：（间接法）抽出的3 件产品中至少有

1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即

33=161 700-152 096 = 9 604 （种）.

C100C98说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

设计意图：能利用两个原理及组合数公式解决一些简单的实际问题。

练习3：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？

（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选；

（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；

（5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；

20514答案：（1）C3

（2）

（3）C=36CC=126CC393919=126

14（4）C3C9=378

51423532（5）直接法：C03C9+C3C9+C3C9=756

间接法：C12-C3C9=756

14332505（6）直接法：C3

间接法：C9+C2C+CC+=666C-CC39391239=666

设计意图：通过讲练结合，让学生理解并巩固学生对组合数在解决实际问题中的应用的

掌握。

四、

课堂总结

1. 组合的两个性质（1）CnCnmnm；（2）Cn1＝Cn+Cnmmm1

2、利用两个原理及组合数公式解决一些简单的实际问题中的“至少”“至多”的问题，可以通常用分类法或间接法求解。

五、

课后作业：书本P28

15，17

六、板书设计：

课题

1．组合数公式

2.组合性质

3.解决实际问题中“至少”“至多”的方法

探究1,2 练习1,2,3

七、教学反思：

1、本节课主要讲两个知识点：组合数性质及组合数在实际问题中的应用。实际时间控制较好，学生反应良好。

2、但性质2的推导转折较快，不利于学生掌握，且没注意讲解公式特点，所以学生对此性质一知半解，在练习2（2）中，遇到坎过不了。

3、组合数在实际问题中的应用讲练结合，由于性质的探究时间稍长了些，所以此环节给学生思考的时间较少，但学生掌握不错，可以直接点名出答案，只有个别学生跟不上节奏；

4、整个过程有些许紧张，所以板书没注意字体，不够端正，以后要多规范；