复习题28教学设计内容推荐

课

题：

解决动态型问题的辅助线方法 抚顺市第十八中学 张引

【内容分析】

重点：从教材原有习题出发进行动态型问题复习，加深学生对教材的重视和理解。

难点：培养学生灵活运用数学知识解决问题的能力以及采用多方法解决问题的能力。

关键：通过动点引辅助线，在变中找不变。

【考点解读】

动态型问题是以点、线、面(如三角形、四边形)的运动为情境，探索和发现其中规律和结论的中考题型，由于图形的运动，导致题目的条件不断改变，随之相应的数量关系和结论也可能改变，这样就出现一个事件中蕴含着多个数学问题，既独立又有联系，使题目无论从考查知识上，还是解决方法上都具有较强的综合性，以达到培养和考查学生的观察、试验、空间想象、分析综合等解决问题的能力，在中考试卷中常作为最后两题出现。动态型问题类型有：⑴点的运动，⑵线的运动，⑶面(如三角形、四边形)的运动。 【设计意图】

中考试题基本上是教材中题目的引申、变形或组合，特别是教材的编排有“螺旋上升”的优点，也有知识点分散的缺点，所以必须指导学生深钻教材，绝不能脱离课本。在复习九年级知识的同时，把七、八年级的相关内容进行归纳整理，加强各模块内部的整合，寻求各模块的交叉点、中间地带，让学生站在九年级的高度反思、巩固、深化、升华，使之形成结构，并要求他们注意解题方法的归纳和整理。本节课从人教版八年级下册69页14题出发，通过点在直角三角形的直角边、斜边（或所在直线）上的运动，导致题目的条件不断改变，随之相应的数量关系和结论也可能改变，但其数学思想方法不变，使学生认识到：中考试题来源于教材，是教材中题目的引申、变形或组合，增强学习信心，克服畏难心理。

【思维方法】

(1)认清问题中的静态图形和动态图形，并确定动态图形的起始位置和终止位置；

(2)画出不同时刻动态图形与静态图形形成的几何图形，这样就能达到由“动”变“静”，再引适当的辅助线，通过“变”中找“不变”，解决问题。

【教学环节安排】

教学 教学内容

过

程

典

例

分

析

综

合

运

用

【总结方法】

教材：人教版八下69页14题

问题1：已知四边形ABCD是正方形。

如图1，点E是边AB的中点，∠CEF=90°，且EF交正方形外角的平分线所在直线于点F，求证：EC=EF；

备用图

【验证体会】

变式一：

八下期末

问题2：小华对问题1的题目进行了探索，他猜想：如果将问题1中的“点E是边AB的中点”改为“点E是直线AB上任意一点（A、B两点除外）”，其它条件不变，结论EC=EF是否仍然成立？

【回顾反思】

变式二：

四模25题

问题3：已知：△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α（0°＜α≤45°）。点D是BC边上的一个动点，ED⊥AD于D，EB⊥BA于B；

⑴当α=45°（如图1所示）时，求证：DA=DE；

⑵当α=30°（如图2所示）时，请你判断线段AD与DE之间的数量关系并说明理由；

⑶在图3中，请你直接写出线段AD与DE之间的数量关系（不用说明理由，用含有α的三角函数来表示）

AAA

EE

E

CCCDBDBDB

图1

图2

图3

深

化

主

题

【运用深化】

运用一：

问题4：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，点D是BC边上的一点（D不与B、C重合），连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE。

⑴如图1，当∠ABC=45°，求证：AD=DE；

⑵如图2，当∠ABC=30°时，请你判断线段AD与DE之间有何数量关系？并请说明理由；

⑶当∠ABC=α时，请你直接写出线段AD与DE之间的数量关系（用含有α的三角函数来表示）。

小组合作，体会思想方法：

反思总结，问题1、2、3、4之间的联系

运用二

问题5：在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC。直线MN过点A且MN∥BC，以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）。如图1，DE与AC交于点P，易证BD=DP。（无需写证明过程）

⑴在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。

⑵在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明。

【拓展升华】

三垂直（手拉手）

【课下完成】

问题6：

⑴问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD·BC=AP·BP；

⑵探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由；

⑶应用：请利用⑴、⑵获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠CPD=∠A。设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，DC为半径的圆与AB相切时，求t的值。

问题7：

已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB。AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2。

⑴如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；

⑵如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：△P2P1P∽△P2PA；

⑶如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ。

【归纳总结】

点在直角三角形的边上运动

直角边或斜边（所在的直线）

引辅助线，构造直角三角形

通常引垂线

证明三角形全等或相似

找等边、等角

得出正确结论

完善

整合