数学活动教学设计

《中考专题复习课·模型思想——K型图》教学设计

作者：潮州市高级实验学校 黄勃

【教学对象】初三学生 【教学目标】

（1）

知识与技能：K型（即三垂图）模型结构的落实；全等、相似三角形与其他知识的综合题型；

（2）过程与方法：培养学生建模能力，进一步渗透模型思想、转化思想；

（3）情感态度价值观：通过观察分析，认准K型图的结构特征，体会全等、相似三角形在综合问题的应用，培养学生建模能力、整合能力。

【教学重点】掌握K型图的根本结构特征及应用范围

【教学难点】利用题目的条件寻找或构造出K型图

【教学手段】多媒体教学。

【学情分析】学生处于中考备考的专题训练阶段，已学习了全等三角形、相

似三角形、反比例函数等初中教科书的知识，具备了一定的数学模型思想和推理能力。

【教学过程设计】

教学环节

教学内容

教师活动

学生

活动

设计意图

热

身

训

练

确

立

模

型

1、复习常用的模型图：

通过复习常直角三角形、外角定理、切线长定理……识得重要的见的模型图，基本图形，是解决几何综合介绍本节的问题的关键。

2、亮出本节课的复习专题：

专题；

——数学模型思想

- 1 - 回顾1、回顾基本图形，学过的引出专题，带着学常见基习目标进入课堂，本图使学生的学习更有方向性；

形；

教学环节

教学内容

3、热身训练：

（1）如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a面积为4，c面积为9，则b的面积为 。

教师活动

学生

活动

独立

思考; 小组

讨论; 举手

设计意图

2、用两道简单练习帮助学生复习全等三角形、相似三角形的相关知识。

热

身

训

练

确

立

模

型

1、关键线段的长度都是通过三角形全等或相似得到的。你发现这些三角形在形状上都有什么共同点？

2、构成它们

全等或相似一（2）如图，矩形ABCD中，的条件中，点F在CD上，以AF为折痕共需要多少将矩形折叠，使得点D落在个直角？

BC边的E处，已知CF=3，3、观察这三或者AB=8，则矩形的周个垂足，说三个直角长 。

顶点，它们有何位置关系？

4、根据它的特点有三个垂直关系，称之为“三垂

图”，或者直4、关键线段的长度都是通观上看它的过三角形全等或相似得到形状像字母的。细心的同学有木有发现“K”，叫做这些三角形在形状上都有“K”型图。

什么共同点？你能画一画

吗？

得到K型图的特点：

①

有三对互相垂直的直线

②

三个垂足都在同一直线

上

命名“K型图”。

分享；

3、让学生自己从观察

发现; 归纳出共同点。

习题中提炼出K型图，学生印象深刻。

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教学环节

教学内容

教师活动

学生

活动

设计意图

1本题是反比例函数背景下的综合问题，考查学生很多方面的能力；

2、对比“K型图”，练习在综合问题中认出模型图的结构特征；

3、寻找全等三角形的判定条件时，需挖掘出图中隐含的条件，比如等腰直角三角形、直角坐标系等；同时能合理构造，使得图形结构往熟悉的模型图靠拢；

4、三个不同的图形，但都是运用了全等的性质建立数量关系式来求解，感受数学中的变与不变，培养学生归纳总结的能力；

5、培养学生语言表达能力，养成及时归纳总结的习惯；

如图，若点A是反比例函数 图象范

上的一点,点B(n,0)是x轴正半轴上一点, 点C的坐例

标为(0,1),当△ABC是等腰直角三角形时，求

n 的精

值？

解

，

方

法

总

结

1、引导学生思考读题，分析：

画图；

①题目一共观察给出了几个讨论后点？分别是发现分什么？

②

其中哪些类讨是定点？哪论；

小组些是动点？动点在什么协作分轨迹上运享结动？

果；

③

这三点之尝试

间将要构成读题

什么图形？

用自己画图

④请在图中的语言分类讨论

画出等腰直总结方小组完成分享：

角三角形。你法思第一种：以点C为直角顶发现什么问路。

点，AC=BC时：

题？

2、组织学生

画图计算

3、让学生代

表自主选择

其中一种类

型来说明；

4、总结方法：

分类讨论中，第二种：以点B为直角顶点的具体作点，AB=BC时：

用变了，图形变了，但本质

却没变，我们抓住“直角”

和“等腰”这两个要素构

造常用的模型图，在建模

上找到数量关系列方程

从而解决问

- 3 -

教学环节

教学内容

教师活动

学生

活动

设计意图

第三种：以点A为直角顶题，这是数形

点，AB=AC时：

结合一种典型的运用。

你能尝试总结解决这种题型的基本思路吗？

变式1：将例题中点A、B、C构成的图形改为“若点P与A、B、C三点构成的四边形是正方形时，求点P的坐科

标？

学

第一种：

变

式

模

型

提

第二种：

升

难度加大，可视学生的水平做提示：

1、

觉得刚才三种分类有没有利用价值？

2、

刚才的两腰可作为正方形的一组邻边，而这个直角可作为正方形的一个内角。其实这个图已经是露出了正方形的半边脸；

3、

现在大家在刚才的图形中补齐并分组讨论尝试计算出来。

- 4 - 疑惑；

讨论分析；

画图分析；

求出结果。

1、

考查学生对正方形和等腰直角三角形的结构的熟悉程度；

2、

及时总结学法：

3、

强化学法，渗透数学建模思想方法。

教学环节

科

学

变

式

模

型

提

升

课

堂

小

结

畅

谈

收获

学生

设计意图

活动

4、总结学法：

针对变式2是从K第三种：

虽然图形变式2，型的全等结构向由△变成四有部分相似结构转变，考

边形，但由于学生心查学生知识迁移正方形也具领神的能力；同时条件

备直角和边会，部变得复杂，使得分

长相等的特分学生类讨论的可能性征，我们通过却措手变多，数量关系从

多次重复构无措；原先的相等变成造K型图得这个问成比例的关系，都

到新的全等题可视给学生的思维和三角形，最终学生水计算带来很大的

解决问题。

平，设挑战；这个变式服变式2：

5、针对变式置为课务于中考最后一将例题中ABC三点的2，提示既要后讨论题的训练。

关系再改为“△ABC是含“直角”还要或者选30°角的直角三角形时，求“30°”，继做题n的值？

续需要分类目。

讨论；

1、掌握了一个模型图？

协助学生回顾1、培养学生语言养成及2、它的结构特点是什么？

归纳基本步本节课表达能力，3、它会给我们带来什么？

骤；

的内时归纳总结的习4、综合题目上特别是动点点拨式推容，尝惯；

问题，通常需要哪些步出开放性的试自主2、强化学法，渗

骤？

问题。

总结；

透数学思想方法。3、作为中考专题5、我们运用了哪些数学思

训练，必须有适想？

当提升，对于K6、K型图，其实它还蕴含型图，第一是只许多丰富的内容：

要保持三个直角不变，将其中一个直角三角形的位置重新调整；再者，只要保持这三个角的顶点共线且三个角度一致，不一定要等于90°，也会

出现类似的全等

教学内容

教师活动

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教学环节

教学内容

教师活动

学生

活动

设计意图

或相似三角形。开放式的拓展让学有余力的学生思维更宽广。

掌握知识是一个建构性的过程，需要多次反复训练；

巩固K型图的结构特征及与其他知识点的关系；

1、如图1，在平面直角坐鼓励；

标系中，Rt△OAB的顶点O寄语；

在原点上，点A、B分别落课

在双曲线后

作

曲线业

巩

固

训

2、如练

图2，已知△ABC中，∠

A=90°，AB=AC，点D在BC

上，∠EDF=45°，角的两边

与AB、AC分别交于E、F，

109若BD=3，BE=2，CF=2，

y4x（x>0）和双yk(x0)x上，tan∠4OAB=3，则k = 。

强化数学建模的思想方法。

则CD= 。

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【教学反思】

作为一节中考专题综合复习课，旨在提高学生的综合解题能力，对多个知识点的高度整合，从中渗透数学思想方法。本节课是复习常见的“K型图”，从热身训练开始就引导学生紧紧抓住它的基本特征：有三个垂直关系且垂足在同一直线上。精选了以反比例函数为背景的一道综合题为例题，用动点形成等腰直角三角形的要求进行分类讨论，再从等腰和直角两个条件中联想常见的数学模型图，扣紧K型图的特征适当添加辅助线，构造出完整的K型图，再通过全等或相似的性质建立数量关系，从而解决问题。整个过程符合学生的认知规律，而且例题之后的逐步变式提问，使得整个课堂紧凑流畅，层次分明，时时挑起学生的求知欲。但是作为中考专题训练，这样单纯一节课并不能真正落实这个复杂的模型，实践中还需要后续的练习和学生的反馈，才能进一步巩固，使得建模这种重要的数学思想渗透到学生思考问题的习惯中。

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