测试优秀公开课教案

一次函数与反比例函数

知识梳理

1.正比例函数的一般形式是，一次函数的一般形式是．

2.一次函数ykxb的图象是经过

和

两点的一条直线．

3.一次函数ykxb的图象和性质：（1）当k＞0，b＞0时，经过第

象限，y随x的增大而

；（2）当k＞0，b＜0时，经过第

象限，y随x的增大而

；（3）当k＜0，b＞0时，经过第

象限，y随x的增大而

；（4）当k＜0，b＜0时，经过第

象限，y随x的增大而

．

4.一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y

或 （k为常数，k0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

5.反比例函数的图象和性质：（1）当k＞0时，经过第

象限，在每一象限内，y随x的增大而

；（2）当k＜0时，经过第

象限，在每一象限内，y随x的增大而

．

6.如图1，反比例函数ykk(k0)中比例系数k几何意义，即过双曲线函数y(k0)上任意一点pxx做x轴、y轴垂线设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为．

考点分析

考点一：函数自变量的取值范围 y例题：在函数中，自变量x的取值范围是（

）

A．x＜

B．x≠﹣

C．x≠

D．x＞

13x1思路分析：分母不能为零,由此得到3x﹣1≠0，通过解不等式求得x的取值范围． 解：依题意得：3x﹣1≠0，解得x≠．故选：C 点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

变式训练：函数y3x的自变量x的取值范围是（

）

x2D.x3且x2

A.x＜3 B.x＞3 C.x3

考点二：一次函数的图象和性质

例题：（2015·成都市）一次函数y2x1的图象不经过（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第兰象限 D．第四象限

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思路分析：当k＞0，b＞0时，一次函数的图象经过一、二、三象限．

解：略故选：D 点评：本题考查了一次函数的图象经过的象限.共分为四种情况:（1）当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限；（2）当k＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限；（3）当k＜0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；（4）当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限. 变式训练：关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（

）

A．

B．C．

D．

考点三：反比例函数的图象和性质

例题：已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（

）

A．第二，三象限

B．第一，三象限 C．第三，四象限 D．第二，四象限

思路分析：当k＜0时，反比例函数的图象经过二、四象限．

解：略

故选：D 点评：本题考查了一次函数的图象经过的象限.共分为两种情况:（1）当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限；（2）当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限．

变式训练：若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数

的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（

）

A. y1＜y2＜y3B. y2＜y3＜y1C. y3＜y2＜y1

D. y2＜y1＜y3

考点四：点的坐标

例题：（2015·德阳市）如图2，在一次函数y=﹣x+6的图象上取一点P，

作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方

满足上述条件的点P的个数共有（

）

A．1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

思路分析：分两种情况：①当0＜x＜6时，②当x＜0时列出方程，分别求解即可. 解：略故选：C 点评：本题主要考查了一次函数上点的坐标特征，解题的关键是要分两种情况讨论求解. 变式训练：当11≤X≤2时，函数y=-2x+b的图象上至少有一个点在函数y的图象下方，则b的取值范2x围为（

）

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A．b≥22

B．b＜99

C．b＜3

D．22＜b＜

22考点五：反比例函数中系数K的几何意义

例题：如图3，点A为反比例函数y=-连接OA，则△ABO的面积为（

）

A．-4 B．4 C．-2 D．2 4图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，

x1ABAO，转化为点A横纵坐标的绝对值. 211解：依题意得，△ABO的面积Sk42故选：D 22思路分析：△ABO的面积S=点评：本题主要考查了反比例函数中反比例系数的几何意义.过反比例函数yk(k0)图象上任一点Ax作x轴，连接AO，则所得的△ABO的面积S=1111ABAO=yxxyk. 2222ky变式训练：如图4，已知双曲线（k<0x）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，

且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为（﹣6,4）,则△AOC的面积为（

）

A.12

B.9

C.6 D.4

考点六：反比例函数与一次函数的交点

三角形的面积

例题：如图5，直线y=x+1和y=﹣x+3相交于点A，且分别与x轴交于B，C 两点，过点A的双曲线y=（x＞0）与直线y=﹣x+3的另一交点为点D．

（1）求双曲线的解析式；

（2）求△BCD的面积．

思路分析：（1）先通过解方程组得A（1，2），

然后把A（1，2）代入y=中求出k的值即可得到反比例函数解析式；

（2）根据反比例函数与一次函数的交点问题，通过解方程组得D（2，1），

再利用x轴上点的坐标特征确定B点和C点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．

解：（1）双曲线的解析式为y2（2）sBCD=2．

x点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

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变式训练：如图6，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（2，﹣2）．

（1）分别求这两个函数的表达式；

（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，

与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，

求点C的坐标及△ABC的面积．

达标自测

一、选择题

1．如图7，一次函数y1axb与反比例函数y2当y1＜y2时，x的取值范围是（

）

A．x＜2 B．x＞5 C．2＜x＜5 D．0＜x＜2或x＞5 2．如图8，直线y=mx与双曲线ymxk的图象如图示，

xk交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，

x垂足为点M，连接BM，若SABM2，则k的值为（

）

A．-2 B．2 C．4 D．-4 二、填空题

3．已知双曲线与直线相交于点，则

．

三、解答题

4．如图9，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=x的图象与

反比例函数y=的图象交于A（a，﹣2），B两点．

（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；

（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，

交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．

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实战演练

一、选择题

1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（

）

A．y=

B．y=

C．y=x﹣3 D．y=

2．如果函数y=ax+b（a＜0，b＜0）和y=kx（k＞0）的图象交于点P，那么点P应该位于（

）

A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．如果反比例函数A． B．

的图象经过点（﹣2，﹣3），那么k的值为（

）

C．﹣6 D．6 4．如图10，点A，B，C在一次函数y=﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，

分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（

）

A.1 B.3 C.3（m﹣1）

5．如图11，直线l和双曲线y=kx (k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点

(不与A、B重合),过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，

设△AOC面积是S1，△BOD面积是S2，△POE面积是S3，则（

）

A.S1＜S2＜S3 B.S1＞S2＞S3 C.S1=S2＞S3 D.S1=S2＜S3

二、填空题

6．函数y2x4的自变量x取值范围是. x1|k﹣1|-1 D.1.5m-3 7．如果函数y=(k﹣2)x+3是一次函数，则k=

. 8．如图12，△AOB，△CBD是等腰直角三角形，点A，C在函数y=4(x>0) x的图象上，斜边OB，BD都在x轴上，则点D的横坐标是________.

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三、解答题

9．如图13，已知一次函数y1xm（m为常数）的图象与反比例函数

y2图象相交于点 A（1，3）． （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标； （2）观察图象，直接写出使函数值y1≥y2的自变量x的取值范围．

k（k为常数，

k0）的x

10．如图14，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求△AOB的面积．

的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．

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