2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率优质课一等奖

2.2.1直线方程的概念与直线的斜率

教学设计

大连开发区第八高级中学

徐畅

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书必修二（B版）》第二章第二节第一课时，直线方程的概念与直线的斜率。教学内容有直线方程的概念、直线的斜率、直线倾斜角、直线斜率与倾斜角的关系。推导直线的斜率公式的过程，体现了解析法的基本思想，把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质，而且它在以后建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起到了核心作用，是本节课的重点。而直线斜率与倾斜角的关系研究，是本节课的难点。本节课是第一次用方程研究直线，为后续用方程研究曲线起到一个示范作用。

二、目标分析

知识与技能目标

1.了解直线的方程和方程的直线的概念。

2.理解掌握直线斜率的概念和公式，直线倾斜角的概念。

3.掌握直线的斜率和倾斜角的相互关系。

过程与方法目标

1.通过直线方程概念、直线斜率概念的引入，以及直线斜率和倾斜角的关系的分析，提高学生分析、比较、概括、归纳的数学能力。

2.使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力。

3. 进一步了解分类讨论思想，数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系。

情感、态度与价值观目标

通过学生主动参与，师生、生生合作交流，发现数形的统一美，提高学生学习的兴趣，激发其求知欲，培养探索精神。

三、教学重点与难点

教学重点：

理解直线的斜率概念，探索如何通过两点求直线的斜率公式。

教学难点：

斜率的几何意义，即直线的斜率和倾斜角的相互关系。

四、学情分析

1.学生之前已经学习了函数的图象和性质，已知一次函数的图象是一条直线，也会通过函数图象理解函数的性质，具有初步的数形结合思想，将一次函数与其图象对应关系转换成直线方程和直线的对应关系，符合学生的认知特点，便于理解直线的方程概念。

2.直线方程的学习安排在三角函数前，因此倾斜角的正切等于斜率，需要借助课件直观演示。

3.研究斜率与倾斜角的关系时，鼓励学生小组讨论，数形结合直观演示，同时借助斜率公式，让学生逐步体验二者的联系，从而突破难点

五、教法分析

本课主要采用问题探究、合作交流的教学与学习方法。引导学生思考数学问题，并解决问题，让学生自主探索与合作交流相结合，主动获取知识，领悟概念实质，提高探究能力与解决问题的能力。

同时借助多媒体课件辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率。

六、教学过程

（一）回顾旧知，形成直线方程的概念

我们已经学过一次函数y=kx+b（k≠0），它的图象是一条直线.

(学生回顾一次函数的图象，教师列举y=2x+1的图象) 例如y=2x+1的图象是一条通过点（0，1）和（1，3）的直线

l

(分析点P坐标（x,y）,与方程y=2x+1的关系) 如果点P在直线l上，则P的坐标（x,y）满足y=2x+1。

如果点P的坐标（x,y）满足y=2x+1,则P在直线

l上

。

如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。

例如直线:y=2x+1

y=kx+b的图像是一条直线，以后常说直线y=kx+b

(学生通过具体实例形成直线方程的概念，教师强调直线方程概念的两个方面)

（二）探究直线斜率

描述直线倾斜程度的量——直线的斜率

已知直线y=kx+b两点的坐标时，如何计算k?

设Pl上的两个不同点

1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线y1kx1b

y2kx2b

y2y1kx2kx1kx2x1

k的

计算公式：

ky2y1

，x2x1

x2x1

（引导学生利用直线方程概念，代入P1与 P2坐标，学生求出k公式）

令xx2x1

yy2y1

yk(x0)

ktanxyyxx221

1直线y=kx+b中的系数k叫做这条直线的斜率。

（引导学生通过直角三角形分析k=tan，并将k定义为直线的斜率）

1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

ky2y1

答：不成立，因为分母为0，斜率不存在。

x2x1

（引导学生分析斜率何时不存在，深化理解斜率的概念）

2、已知直线上两点

A(a1,a2)

、B(b1,b2)，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的顺序有关吗？

kABab2b2a2=kBA2

答：与A、B两点的顺序无关。

a1b1b1a1（引导学生分析用斜率公式求k值与直线上两点顺序无关，深化理解斜率公式）

（三）探究直线倾斜角

（学生回答倾斜角概念，教师强调两个注意）

直线的倾斜角

x轴正向与直线l向上方向所成的角叫做直线的倾斜角

注意：

(1)直线向上方向；

(2)x轴的正方向。

x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角,它的范围是？

1.范围：

001800

2.任何一条直线都有倾斜角

与

x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角

（教师利用课件动画演示，引导学生思考并回答倾斜角范围）

（四）探究直线斜率与直线倾斜角的关系

讨论直线的斜率k与倾斜角的关系

（多媒体课件演示，数形结合分析问题）

（教师引导，学生从斜率公式和几何图象方面，小组讨论，合作探究斜率与倾斜角的关系）

当k= 0 时，α=00

当k＞0时，00＜α＜900

，k值增大，倾斜角也随着增大。

当α=900

时，k不存在

当k＜0时，900＜α＜1800 ，k值增大，ky减小，倾斜角随着增大。

x（五）例题讲解，巩固新知

例一：求经过A(-2,0) B(-5,3) 两点的直线的斜率

5(2)31

解：kAB303

例二：画出方程3x+6y-8=0的图像

解：已知方程解出y,得

1441yx

当x0时,y

当x2时,y

233341在坐标平面内做点A(0,),B(2,)

33做直线AB，即为所求方程的图像

（六）课堂练习，复习演练

练习1：经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率：



（1）（1，-1），（-3，2）



（2）（1，-2），（5，-2）



（3）（3，4），（-2，-5)



（4）（3，0），（3 ，3)

练习2：

已知点A(-1,-1),B(3,1),C(0,5),分别求直线AB,BC,CA的斜率

练习3：

已知直线l经过点A(m,2)，B(1,m2+2),试求直线 的斜率

（教师引导，学生思考，分类讨论）

（七）本课小结，知识梳理

1、直线方程的概念

2、直线的斜率定义及公式：

ky2y1yy2(或k1)

x2x1x1x23、直线的倾斜角定义及其范围：001800 4、斜率k与倾斜角之间的关系

七、教学反思

本节课，能够根据新课程标准的教学理念，在教学过程中，不仅注重学生的参与意识、合作意识、问题探究意识，而且注重培养学生的数形结合思想、引导学生借助解析法研究几何图形性质，同时积极关注学生的学习态度，通过师生交流、生生交流，激发学生的学习兴趣，引导学生尝试自主地分析问题和解决问题。 八、板书设计

直线方程的概念与直线斜率

一、直线方程的概念 二、直线的斜率（已知P1（x1,y1）, Pky2y1xx,(x1x2)

21三、直线的倾斜角

2（x2,y2））