2.1.1 合情推理优质课教学设计

“归纳推理”教学设计

江苏省扬州大学附属中学数学组 高建国 225002 一、教材分析

推理与证明是一种数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次,是新课标教材的亮点之一。

本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2—2）中第二章《推理与证明》第一节合情推理的第一课时（苏教版P61-63）。教材的设计紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，还原了归纳推理的本源，使已学过的数学知识和思想方法系统化、明晰化，操作化，教材中的阅读部分很好的体现了数学文化，能有效激发学生探究的欲望与学习兴趣，本节内容融知识、方法、思维和情感于一体，能够让学生更好地体会数学的本质．

二、教学目标：

1．知识与技能：了解归纳推理的概念，掌握归纳推理的思维过程、会利用归纳推理的方法和思维方式进行一些简单的探索。

2．过程与方法：通过学生探索活动，引领学生经历归纳推理概念的形成过程，体会并认识利用归纳推理探究和发现新事实、得出新结论的作用。

3．情感、态度、价值观：通过学生主动探究、合作学习、相互交流，培养学生不怕困难、勇于探索的优良思维品质；让学生体会到数学“源于生活，指导实践”的重要作用；让学生感受数学文化价值，激发学生学习数学的兴趣和探索真理的欲望。

三、教学重点、难点

1．重点：归纳推理的概念，归纳推理的一般步骤。

2．难点：归纳推理概念的形成过程和简单应用。

四、教学方法

1、探究式教学：在进行本节课的教学时，学生已经有大量的运用归纳推理生活实例和数学实例，这些素材是学生探究本节课内容的重要基础，教学时可以充分利用这一教学条件，引导学生结合已有知识探究新学知识。

2、循环教学法：本学期我校推行教学改革，提倡课堂教学按照“提出问题-自主探究-合作交流-形成结论”的“循环”模式进行，本节课思维发散度大，涉及知识面宽，有一定难度，具备了循环教学的条件。这种教学模式可以发挥出老师的主导作用，凸显学生的主体作用，还能培养学生的问题意识、自主学习意识、团队意识，相互交流意识。

五、教学过程

（一）创设情境，引出概念

问题一：今天听课的老师很多，都是数学教育专家，第一次面对这么多专家开公开课，

同学们能想象一下老师此刻的心理吗？（四个选项：（1）紧张（2）兴奋（3）忧伤（4）快乐）

问题二：高老师紧张，换李老师呢？推测：李老师紧张

问题三：大型公开课场合，老师们都会紧张，高老师是老师。推断：高老师紧张

总结：象上述从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

老师投影上述整理后的三个推理案例，指导学生讨论三个推理的特点。

总结：推理一是从个别事实推演出一般结论；推理二是一种类比；推理三有点类似于证明，这三种推理是我们接下来这一章要研究的内容，这节课我们重点研究第一种，“归纳推理”。

设计意图：结合具体环境，自然合理地提出问题，揭示本章所学主要内容，进而引出课题。同时让学生体会“数学源于生活”，营造和谐积极的学习气氛。

（二）学生活动，感受概念

投影显示两个归纳推理案例，一个是推理案例一，还有一个是课本上求导公式xx1的归纳过程，参照两个案例，请学生举出新的案例。（提示学生可以小组讨论、相互交流。老师适时引导学生将案例范围从生活、学习中的例子引导至数学学科内，注意纠正补充学生可能出现的疏漏。）最后请学生总结归纳推理的概念与思维模式。

（板书归纳推理的思维模式）

前提：S1具有（或不具有）性质P；

S2具有（或不具有）性质P；

……

Sn具有（或不具有）性质P。

S1、S2、

……、Sn都是S类事物的对象。

结论：S类事物都具有（或不具有）性质P。

设计意图：让学生模仿案例，在尝试举例的过程中初步感受概念，为主动建构概念奠定基础。采用分组讨论、合作交流的形式有利于举出更为恰当的例子，有利于“去伪存真”，准确把握概念，有利于激活学生思维，使学生深刻理解归纳推理的概念。

（三）数学应用，领悟概念

例1已知数列{an}的第1项a11,且an1列的一个通项公式。

an（n=1 , 2 , …)

试归纳出这个数1an

教师收集学生的不同做法，并投影。一般有两种做法：

解法一：分别把n=1,2,3,4 代入an1an

1an得:a211111,a3,a4,a5，归纳an。

2345n 解法二：由1an111an1111，故是等差数列，从而得1得an1ananananan1。

n教师指出，解法一是归纳推理，它给我们提供了猜想数列通项公式的思维方法，是否正确还需严格证明，解法二不是归纳推理，它可以用来证明。

设计意图：本例设计一方面是为了巩固归纳推理的概念，另一方面也是为了让学生体会归纳推理的一般步骤。

例2如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么(1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段? (2)在圆内画五条线段, 最多可以将圆分割成 部分? 猜想: 圆内两两相交的n(n≥2)条线段，最多将圆分割成 部分? 本例学生得出答案的方法很多，教学时关键要通过“追问”来暴露学生思维过程。如有学生这样做：设圆内两两相交的n(n2)条线段,彼此最多分割成f(n)条线段，由题意，f(1)1,f(2)4,f(3)9,很容易猜测到f(4)16,f(n)n2。老师可以追问：“仅凭前三项就猜测结果，可靠吗？”提示学生画图验证，再追问：“f(5)25肯定对吗？”引导学生研究一般情况：要使得到的线段尽量多，应保证第n条线段与前n1条线段各有一个2交点，从而每条线段都被分成了n条小线段，所以共有n条线段。

教师点评：大胆猜想值得肯定，适当验证更显严谨，理性思考应该表扬！在此基础上完成题（2）。

设计意图：本例的思维层次明显，不能停留在仅仅得到答案，要结合答案“是否合理？”展开深层次探究，指导学生将归纳推理从感性认识上升到理性认识。同时让学生进一步体会归纳推理的一般步骤。

教师：总结例1、例2，描述一下归纳推理的思维过程。

概括、推广

猜测一般性结论

试验、观察

教师：我们来体验一下上述过程。老师这儿有6个信封，你能猜测到里面装的是什么吗？

学生可能会猜礼品、书签等等。

教师打开前三个信封，给学生展示的都是一张张课本中已学过的涉及归纳推理内容的纸条。

教师：试验是归纳推理的基础，现在能猜测到了吗？

学生猜：是有关归纳推理内容的纸条。 教师打开第四个信封，正如学生所答。

教师：第五个信封呢？

学生猜：还是有关归纳推理内容的纸条。

教师展示纸条内容是“你们猜错了”。

教师：现在应作何猜想？

学生猜：可以猜装的是纸条。

教师：很好，概括推广的必须是共性。敢猜第六个信封吗？

学生直摇头。教师打开第六个信封，里面没放任何东西。

教师：说明了一个道理，归纳猜测可能出错！那为什么还要教大家这种方法呢？请看例3。

设计意图：该活动的设计一是为了让学生熟悉归纳推理的思维过程，二也可以起到活跃气氛的作用，更为重要的是为了告诉学生：归纳推理结论的多样性、概括性、不可靠性。

例3请你观察：4=2+2 6=3+3 8=3+5 10=3+7=5+5 12=5+7 14=3+11=7+7 请填空 16= + = + ，18= + = + 由此，请猜想： 这个规律对于其他偶数是否成立？

本例让同学们相互交流质疑，看哪个答案更合理，最后指出是哥德巴赫猜想。并对该猜想进行适当介绍，同时介绍中国数学家陈景润在极其艰苦的条件下完成了对猜想最逼近的证明，至今无人能及！告诉学生：数学中很多猜想都是归纳出来的，同学可以去研究看看；激励学生做个有心人，尝试提出自己的猜想！

设计意图：让学生感受发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律。同时渗透数学文化，激发起学生的爱国热情和敢于拼搏，勇于探究的科学精神。

（四）回顾反思，深化概念

1、总结 让学生谈谈本节课的收获，总结归纳推理的一般特点。

（1）由特殊到一般；（2）结论未必可靠；（3）是科学发现的基石。

2、作业： （1）课本P64练习4 , P78习题1,P98复习题9 （2）实习作业：上网搜索或查找资料，寻找著名数学猜想（如四色猜想、费马猜想、孪生素数猜想

）案例，以“对归纳推理的认识”为主题完成实习报告。

设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。实习作

业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台，它可以拓宽学生知识面，激发学生的好奇心与求知欲。让学生接受数学文化的熏陶，感受归纳推理的魅力；同时，通过“猜想——验证——再猜想”说明科学的进步与发展总是呈现一个螺旋上升的过程。

本文发表于2010年《教育研究与评论》第2期