利用一个一次函数的图象解决问题优秀教案设计

太原市哪一种“打的”方式更省钱 --一次函数图象的应用

选题思考

1.基于活动内容的思考

数学源于生活，生活中的许多问题都可以用数学的方法来解决.例如“打的”是生活中很普遍的现象，但是在这一司空见惯的生活小事中，却有着浓郁的“数学味”——这一问题中蕴含着函数、方程、不等式三大数学模型，既紧密联系学生生活实际，又与八年级学生所学知识相吻合.因此，《太原市哪一种“打的”方式更省钱》这一课题能引导学生关注现实生活中的数学问题，并进行数学的求解与分析.通过小组合作和教师引导，学生将体验研究过程、了解研究方法，形成主动运用数学知识看待分析现实问题的意识和能力，有助于增强学习兴趣和应用意识，体会数学建模的过程，树立模型思想. 从学生已有经验来看，八年级学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数等内容，研究了一次函数的图象、表达式的确定及其应用，初步感受了一次函数和一次不等式、一次方程等基本数学模型的广泛应用，已初步具有概括函数关系的能力，积累了一定的基本活动经验.部分学生能根据已给定的具体问题，建立适当的一次函数或数学模型解决问题，但在现实而复杂的情境中分析各种影响因素、建立一次函数模型并利用它的表达式或图象等解决实际问题对于多数同学仍具有挑战性. 2.基于核心素养的思考

数学核心素养有数学抽象、逻辑推理、数学模型、直观想象、数学运算、数据分析六方面。有学者认为，数学素养还包括懂得数学的价值、对自己的数学能力有信心、有解决数学问题的能力，能够学会数学交流，掌握数学的思想方法等。我们通常会从三个维度刻画数学素养，即：数学情境、数学内容、数学过程. 本课题的实施，需要学生课前充分调查太原市现行的不同的“打的”方式与各自的计价标准，在此基础上学生通过自主提出问题并解答，感受到“打的”费用受哪些因素影响，然后在“里程数不同，选择不同种类出租车价格不同”的话题下引发在太原市“打的”怎样最省的问题的讨论，使学生充分认识数学知识在现实生活中的广泛应用，激发学生的学习兴趣，引起学生的数学思考.在活动过程中，学生将进一步积累“由实际问题抽象出数学问题、建立数学模型并求解分析”的活动经验，从而有利于提高对现实问题分析、研究的能力，进一步促进学生对三种“一次模型”所刻画的问题的本质的理解，发展学生的数学抽象能力、建模能力和综合应用数学的能力，做到在学数学的同时自觉地用数学.在展示与交流的环节，学生还需要对解决的问题的过程与结果进行合理的解释，即把我们生活中的真实情境用数学

语言表达出来，进一步学会用数学的语言交流，明晰数学思想方法，感受合作学习的意义。总之，这一综合实践课题的研究将会有效促进学生数学模型这一核心素养的形成与发展。

活动目标

1.能综合运用一次函数的表达式与图象、一元一次方程、一元一次不等式等相关知识解决“打的”怎样最省钱的问题，进一步体会三种“一次模型”所刻画的实际问题的特征，进一步认识三种“一次模型”之间的关系. 2.参与分析解决现实生活中“打的”怎样最省钱的数学问题的活动，经历发现问题、提出问题，分析问题、解决问题的过程，进一步体会数学的广泛应用与模型思想，提高建模能力. 3.会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告，感受小组合作与交流的作用，进一步积累数学活动经验. 活动重难点分析

本活动重点是综合运用一次函数的表达式与图象、一元一次方程、一元一次不等式等相关知识，结合实际情境解决“打的”怎样最省钱的问题，进一步体会一次模型的作用. 难点是根据情境建立恰当的数学模型，用数学的角度分析解决现实生活中“打的”问题. 【活动过程】

★课前准备：

提前布置调查任务，请同学们以小组为单位调查目前在太原市“打的”有哪些方式可供选择？每种方式的计价标准是怎样的？计价受哪些因素影响？

[设计意图] 引导学生关注现实生活，激发学生探究的兴趣，进一步丰富学生开展调查、获取信息、整理分析信息的经验. ★课堂流程

*环节一：谈一谈，课堂引入

师：现阶段出门“打的”非常普遍，各种“打的”软件更是给人们出行提供了很多方便和更多的选择.请各小组汇报交流调查太原市“打的”的多样性选择和相应的计价情况. （学生展示交流调查情况，通过实物投影等展示调查结果.）

例如：

生：在太原市打的方式很多，计价受车型、路程、道路状况、速度情况、夜间或白天行车等多种状况影响. 师：人们“打的”除了舒适度更关注计价问题，下面为我们从大家的调查结果中我们挑选出其中最常见、也是最便宜的的三种“打的”方式进行研究. （学生研究讨论）

生：展示太原市三种最常用的“打的”方式，以及每种方式在道路通畅、舒适车型、白天出车时的计价单：

起步价

普通出租

里程费

远途费

最低消费

滴滴快车

里程费

远途费

最低消费

滴滴专车

里程费

远途费

起价8元,基础3公里

每超一公里1.1元 超过10公里每公里1.6元, 8元

1.5元/公里，每0.1公里结算

超过12公里后，每公里加收0.7元

6元

2.3元/公里,每0.1公里结算

10公里以上每公里加收0.9元

师：分析此计价单，说说这三种“打的”费用主要受哪些因素影响？

生：主要受起步价或最低消费、行驶公里数等的影响. 师：在“打的”过程中，是否存在某两个量之间的“函数”关系？

生：“打的”费用是“打的”里程数的函数. [设计意图] 从复杂问题中提炼信息，通过简化了的计价单让学生了解太原市影响“打的”费用的主要因素，从而分析了“打的”过程中的变量、常量以及函数关系，引导学生从数学的角度关注生活中的实际情境，引发学生探究兴趣. *环节二：做一做，互问互答

师：针对此计价单，你能提出什么问题？请其他小组同学解决. （小组讨论后展示组内提出的问题）

组1：我们组提出的问题是：要到5公里外的迎泽公园收费多少？选择哪种出租车合适？要到20公里外的天龙山收费多少？选择哪种出租车合适？

组2：我们组提出的问题是：小明只有20元，他是否能“打的”到达12公里外的滨河体育场？

... （分组解决已经提出的问题，然后展示解答情况）

组3对组1问题的分析：路程为5公里时，普通出租需要10.2元，滴滴快车8元，滴滴专车11.5元，选择滴滴快车最省钱；20公里时，普通出租需要31.7；滴滴快车需要35.6；滴滴专车需要55元.所以选择普通出租最省钱. 组4对组2问题的分析：通过计算可以知道利用普通出租和滴滴快车都可以到达. [设计意图] 从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点.因此，本环节的意图在于了解学生是否熟悉了每种“打的”方式的计费标准，是否能从实际出发提出具有现实意义的问题.通过学生提问与回答，教师还可以了解到学生是否能认识到里程数不同，选择不同的“打的”方式收费也不同；是否能认识到出租车计价情况实际上是生活中的“一次模型”，并主动利用“一次模型”等解决实际问题. *环节三：议一议，合作交流

师：我们可以看出，里程数不同选择不同的打的方式收费也不同.所以现在可以提出一个研究主题：如果不考虑换乘，在太原市怎样“打的”最省钱？你们小组打算怎样开始研究？请小组讨论后拿出你们研究方案与设想，包括小组成员分工、研究时间安排和流程等与其他小组交流. （小组合作，思考、讨论后与其他小组交流，进一步完善研究方案.）

小组1：先将整个小组分成三组，每一小组都比较其中两种计价方式后，再通过总结看里程数不同时选择哪个打的方式更省. 小组2：分成三小组分别先作出每种打的方式的函数表达式和图象，再放在一起讨论选择哪个打的方式更省. 小组3：小组内部由不同的人自愿选择用函数表达式、图象、一元一次不等式、一元一次方程等解决问题. [设计意图] 这一环节教师提出了一个具有挑战性的问题——“怎样‘打的’最省钱”，学生首先要解决的是怎样研究这个问题，在这里教师给学生充分的自主，由学生通过小组讨论交流，互相提供研究思路，在此基础上不断完善研究方案，有利于帮助学生积累用数学的方法分析实际问题的经验. *环节四：写一写，完成报告

师：根据刚才的交流，请各个小组课后进一步开展研究，利用一周时间完成研究报告.下周将以小组为单位展示各小组研究过程与结果. （课后完成研究工作，提交研究报告，准备展示研究过程与结果.）

[设计意图] 从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，是建立模型的出发点；用符号表示数量关系和变化规律，是建立模型的过程；求出模型的结果并讨论结果的意义，是求解模型的过程.本环节给学生足够的时间，引导学生围绕建立“一次模型”展开对“打的”问题的研究，并写出完整的研究报告.这一环节，学生要经历建模、求解的全过程，并在活动中感受小组合作与交流的作用，进一步积累数学活动经验. *环节五：说一说，交流展示

小组合作完成综合实践报告后，小组派代表展示研究过程并通过实物投影展示研究结果，并对其他小组的研究过程和结果作出评价. [设计意图] 通过展示交流，学生可以看到不同小组用不同的知识点来解决问题，从交流中取长补短，分享综合实践活动的研究经验，提高建模能力.

活动说明与实施建议

1．课前调查建议：实际调查回的打的方式种类很多，计价单中包括夜间费、时长费、低速费等.但我校学生以中等生为主，课堂上分析复杂的计价单会让学生参与度更低，所以根据学生实际，只保留了最常见的三种“打的”方式在道路通畅、舒适车型和白天出车时的计价情况供学生讨论探究.在具体实施时，学生基础较好的班级可以研究更复杂的计费情况. 2．在“做一做，互问互答”这一环节，学生可能回提出许多问题，教师应从其中有目的地选择能体现设计意图的问题让学生进行分析解答，同时要在学生回答中引导他们体会“打的”

收费问题是生活中的“一次模型”，可以运用一元一次方程、一元一次不等式或一次函数的知识尝试解决. 3．在“议一议，合作交流”这一环节中，学生虽然学习过利用一元一次不等式探究“怎样合算”的问题，但综合与实践活动经验还比较欠缺，三种计价方式进行综合比较对于中等生而言难度仍然有些大.所以此环节通过小组合作讨论确定研究计划，并在交流中参考其他小组的方案，给自己小组提供思路，不断完善研究方案.在交流中要注意教师应更多地引导学生自己体会哪种方式更好，自己选择研究方案. 4．对于“写一写，完成报告”这一环节，建议给学生留较为充分的时间，当然，对于学生程度好的学校，可以尝试再用一个课时当堂完成. 5．在“说一说，交流展示”这一环节中，要尽可能鼓励所有的小组战士研究成果.在本活动实施中，有个别小组没能完成实践活动，主要是由于组内缺少带头人，但通过其他小组的交流展示他们也学到了不少东西，所以此环节必不可少；另外，在交流中可能有的小组展示的过程并不完美，但一定要对他们所做的努力表示肯定.因此，要注意活动评价方案的设计，突出过程，兼顾结果. 6. 关于选题的进一步说明：“打的”问题对于城区学校的孩子比较熟悉，也能较好地引发学生的思考，但是对于农村孩子就不一定适合了.事实上，生活中的“一次模型”还有更丰富的应用，例如电费、水费等，可根据实际灵活选择适当的背景供学生进行探索. 【专家点评】

1. 本课题是从贴近太原市中学生日常生活的社会实践中选择并确定主题, 教学情境具体生动,趣味性与实用性相结合;校内活动与校外活动相结合;引导性与参与性相结合,适合太原地区学生.考虑到本校学期，有校本特色. 2. 本活动中,教师向学生提供了充分从事数学活动的机会,帮助学生在自主探索和合作交流的过程中提升数学模型这一核心素养,真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,以获得广泛的数学活动经验. 3.活动过程各环节设计合理、组织有效. 4.在整个活动中关注了每个学生的发展和核心素养的形成,例如通过异质分组、分工合作,让每个小组成员都能积极参与.通过小组展示交流，让同学们的思维碰撞、交流，让每个人都有所收获. 5.活动说明与实施建议有针对性、有实用性和指导意义. 6.案例后附录是两个小组的实践活动报告，能看出该校由于在教师引导下，学生已经具有的一定数学活动经验和较好的数学素养.这确实不是一朝一夕能形成的. 7.建议能设计出统一的小组评价表,以供学生交流后反思、存档. （后附两个小组的实践报告）

附录1：

太原十八中数学综合实践活动

（研究主题：在太原怎样“打的”最省钱）

小组成员：

晏镜婷

付艺伟

李柏贤 案例说明：虽说要低碳生活，出行尽量选择公共交通和骑自行车，可难免有赶时间又等不上公交车时需要打车，以便更准时到达目的地，于是乘出租车出行便成了日常生活中一种普遍，或者说常见的出行方式，所以说怎样更省钱地出行有了很大的研究价值.比如，平时乘坐出租车去火车站要打车费50元，如果运用了“滴滴打车”等打车软件，那出行方式便可以有多种选择.而这些打车软件都有自己的计价方式，怎样选择最实惠的打车出行方式，便需要仔细的比对一番才行. 活动目标：为了更省钱出行，此次社会实践活动收集了一些数据，进行了一些计算和对比，从而得出“在太原市怎样打车最省钱”的方案.此次活动有助于更好我们地积累实践活动经验，提高运用数学思考的能力. 本次实践活动步骤：

一、收集数据

下表是太原市三种最常见的“打的”方式，在道路畅通、舒适车型、白天出车时的计价单：

起步价

普通出租

里程费

远途费

起步价

滴滴快车

里程费

远途费

起步价

滴滴专车

里程费

远途费

起价8元，基础3公里

每超1公里1.1元

超过10公里每公里1.6元

8元

1.5元/公里，每0.1公里结算

超过12公里后，每公里加收0.7元

6元

2.3元/公里，每0.1公里结算

超过10公里后，每公里加收0.9元

二、数据分析：

假设乘车里程为x公里，则乘车费分别为y1、y2和y3元. （1）普通出租：①当010时，y1=8+1.1(10-3) +1.6(x-10)=1.6x-0.3 （2）滴滴快车：①当0

③当x>12时，y21.5121.50.7x122.2x8.4（3）滴滴专车：①当0x②当60时，y3=6 2360x10时，y3=2.3x 23 ③当x>10时，y3=2.310 +(2.3+0.9) (x-10)=3.2 x-9 根据上述函数关系式画出图象：

分析总结：

80时，选择滴滴专车最实惠；

23808016

当x=时，因3<<，选择滴滴专车或滴滴快车；

232338016当

< x≤时，选择滴滴快车；

23316当< x≤10时，三者比较，选择滴滴快车便宜；

3根据上述算式，得知0

27时，三者比较，选择滴滴快车便宜；

28027也即是

< x<时，选择滴滴快车便宜；

23227当x=时，选择滴滴快车或普通出租；

227当x>时，选择普通出租；

2当12< x< 通过图象也可以直接得出最简单的方法：

80 选滴滴专车； 238027x

选滴滴快车； 23227 x

选普通出租. 2 0x三、活动总结

以后在生活中遇到问题时，要多加思考、总结和计算，运用学过的数学知识（比如图表、方程、函数等）来解决生活中遇到的问题，还要和小组成员合作，一同探讨，在探索中学习，在探索中对所学知识加以巩固.

附录2：

太原十八中数学综合实践活动

探究活动主题：在太原如何打的最省钱（多种情况下）

引言：

我和同学出去游玩时乘坐出租车，发现不同种的出租车的起步价和每公里的里程费用都不一样，远途费用也各不相同.于是我和同学对此提出了问题：如何打车才能使所花费用最少.并对此进行了方案设计与探究. 探究方案：

1、

我们准备了三种出租车所花费的不同价钱的表格.分别是普通出租、滴滴快车、滴滴专车.（表格如下）

起步价

普通出租

里程费

远途费

起步价

滴滴快车

里程费

远途费

起步价

滴滴专车

里程费

远途费

起价8元，基础3公里

每超1公里1.1元

超过10公里1.6元

8元

1.5元/公里，每0.1公里结算

>12公里，每公里加收0.7元

6元

2.3元1公里

>10公里，每公里加收0.9元

2、

根据表格求出各出租车的函数表达式并画出函数图象. 3、

依据函数图像找出交点坐标并明白其含义.（待定系数法）

指导老师：寇元朝

小组分工：

何家珺、杨雅超负责报告撰写、文字组织

刘萱淇、荣亚琨负责计算分析、总结归纳

计算过程：

1、

三种车不同情况下花费钱数的表达式如下表：（依据探究方案1）

普通

出租

滴滴

快车

滴滴

专车

小于三公里

大于三公里小于十公里

大于十公里

最低消费

小于十二公里

大于十二公里

最低消费

小于十公里

大于十公里

8元

8+1.1（X-3）元

8+7.7+1.6（X-10）元

8元

8+1.5（X-5.3）元

18.05+2.2（X-12）元

6元

6+2.3（X-2.6）元

23.02+3.1（X-10）元

[写出每种出租车的函数关系式] （1）

普通出租：

当0

解得k=1.1,b=4.7 ∴y=1.1x+4.7 当x>10时，取两点（10，15.7），（20，31.7）

解得k=1.6,b=0.3 ∴y=1.6x-0.3 16（2）滴滴快车：当0

,y=8 31616 当

33 解得k=1.5，b=0 ∴y=1.5x 当x>12时，取点（12，18），（20，35.6）

解得k=2.2，b=-8.4 ∴y=2.2x-8.4 60（3）滴滴专车：当0

2323 解得k=2.3，b=0 ∴y=2.3x 当x>10时，取点（10，23），（20，55）

解得k=2.3，b=-9 ∴y=3.2x-9 (函数图象如下)

[写出特殊点（交点）坐标的含义] 60（1）当x=时，滴滴专车y=6；而普通出租、滴滴快车y=8 2360 ∴ x=时，滴滴专车最小

23（2）当x =3时，普通出租=滴滴快车=8 60 又∵<3≤10 ∴把x=3 代入 y=2.3x，=> 解得y=6.9 23∴

在x =3时，滴滴专车最小

（3）当滴滴专车y=2.3x 与

滴滴快车y=8相交

8080 x=，把x=代入普通出租车y=1.1x+4.7 => 解得y≈8.5 2323∵8.5>8 80

∴在x=时，滴滴专车与滴滴快车相等，都小于普通出租

2347（4）当滴滴专车y=2.3x与普通出租y=1.1x+4.7 相交，x=

，

12此时滴滴快车y=8 47∴在x=时，滴滴专车与普通出租相交，都大于滴滴快车

122727

（5）当滴滴快车y=2.2x-8.4与普通出租y=1.6x-0.3相交得x=，把x=代入y=3.2x-9，22得y=34.2而原交点y=21.3 ∴在x=13.5时，滴滴快车与普通出租相交，都小于滴滴专车. 总结：

80 （1）当0

滴滴专车最便宜. 2380 （2）当x=时，滴滴专车=滴滴快车<普通出租，滴滴专车和滴滴快车相等. 238047 （3）当滴滴快车，滴滴专车和普通出租相等，滴滴快车便12宜. 47 （5）当13.5时，普通出租<滴滴快车<滴滴专车，普通出租最便宜.