回顾与思考优秀教学设计

第5章二次根式-小结与复习

教学目标

系统梳理二次根式相关知识，进一步了解二次根式有意义的条件，熟练进行二次根式的运算．

教学重点

梳理所学内容，形成知识体系．

教学难点

二次根式的化简与运算．

教学流程：

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、二次根式的相关概念和性质

1.

二次根式

形如a(a0)的式子叫做二次根式，如3,12,0.02,0等式子，都叫做二次根式.

1

要点诠释：二次根式a有意义的条件是a0，即只有被开方数a0时，式子a才是二次根式，a才有意义. 2.二次根式的性质

（1）（2）；

；

（3）. 要点诠释：（1）

一个非负数a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a(a)（a0），13132如2(2);2();x(2x)（x0）. 2（2）

a中a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a一定有意义. 22（3）化简a时，先将它化成a，再根据绝对值的意义来进行化简. 22（4）a与(a)的异同

22不同点：a中a可以取任何实数，而(a)中的a必须取非负数；

2a22=a，(a)=a（a0）. 2相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时，a=(a). 23.

最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如2,ab,3x,ab等都是最简二次2 22

根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算

1.

乘除法

（1）乘除法法则：

类型

法则

逆用法则

积的算术平方根化简公式：

二次根式的乘法

abab(a0,b0)abab(a0,b0)

商的算术平方根化简公式：

二次根式的除法

ab=ab

(a0,b0)abab

(a0,b0)要点诠释：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如abcdacbd. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)2.加减法

49.

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.

3

要点诠释：

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22. 【典型例题】

类型一、二次根式的概念与性质

1．

当________时，二次根式x3在实数范围内有意义. 【答案】x≥3. 【解析】根据二次根式的性质，必须x3≥0才有意义. 【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有a0时a才是二次根式.

举一反三

【变式】①4x22x成立的条件是 . ②x2x2成立的条件是 . 3x3x【答案】①

x≤0；(4x22x2xx≤0.) ② 2≤x3.(x2≥0,3x0,2≤x3)

2．当0≤x<1时，化简x2x1的结果是__________.

【答案】 1. 【解析】因为x≥0，所以x2=x；又因为x<1,即x-1<0,所以x1(x1)1x，所以x2x1=x+1-x=1.

4

【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即a=a，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三

【变式】已知a0，化简二次根式a3b的正确结果是（ ）. 2A.aab B. aab C. aab D.aab

【答案】A.

3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）. abA. 14 B. 48 C. D. 4a4

【答案】A. 【解析】选项B：48=43；选项C：有分母；选项D：4a4=2a1，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；

（2）被开方数中不含能开方的因式或因数.

类型二、二次根式的运算

4．下列计算错误的是（ ）. A.

142

B.

523

C.

a

77609a25a8D. 32【答案】

D. 23

【解析】选项A：

14714727772

故正确；

选项B：605605123423，故正确；

5

选项C9a25a3a5a8a故正确；

选项D：32222

故错误. 【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三

【变式】计算：(435445383)8

【答案】243610.

5.化简(32)2010(32)2011. 【答案与解析】 原式=(3(31(332.2)2010(32)20102)2010(32)2)2)(32)(3

【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型. 22 6 已知x31,求x的值. 12xx【答案与解析】

x31,x1=x2230,xx1313336 原式=(x1)

3当x31时，原式=

【总结升华】

化简求值时要注意x的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.

举一反三

【变式】已知ab=-3, ab=1,求abba的值. 【答案】∵ab=-3,ab=1，∴a<0,b<0

原式=ab-bab-a=-(1a+bb+1a)=-ab=3.

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