平方根课堂实录及点评

第二章

实数

2.2. 平方根（第1课时）

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．

学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

二、教学任务分析

本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第二节《平方根》．本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下：

①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．

②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．

③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．

三、教学过程设计

本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．

本节课教学流程为：

问题情境

初步探究

深入探究

反馈练习

学习小结

作业布置

第一环节：问题情境

方法一：问题导入

内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有a22，a＝

，2是有理数，而a是无理数．在前面我们学过若x2a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习．

方法二：问题导入

内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：

x2

，y2

，z2

，w2

．

目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学***方根的必要性．

效果：能表示x22，y23，z24，w25；能求得z2，但不能求得x，y，w的值．

说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明

学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．

第二环节：初步探究

内容1：情境引出新概念

x22，y23，z24，w25，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？

目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．

效果：学生可以估算出x，y是1到2之间的数，w是2到3之间的数但无法表示x，y，w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．

说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？”

内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“a”，读作“根号a”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00．

目的：对算术平方根概念的认识．

效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．

内容3：简单运用

巩固概念

例1

求下列各数的算术平方根：

(1) 900；

(2) 1；

(3) 49；

(4) 14．

64目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是14．

效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．

答案：解：(1)因为302900，所以900的算术平方根是30，即90030；

(2)因为121，所以1的算术平方根是1，即11；

497749497(3)因为()2，所以

的算术平方根是，

即；

648864648

(4)14的算术平方根是14．

内容4：回解课堂引入问题

x22，y23，w25，那么x2，y3，w5．

第三环节：深入探究

内容1：例2

自由下落物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h4.9t2．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？

目的：用算术平方根的知识解决实际问题．

效果：学生多能利用等式的性质将h4.9t2进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．

解：将h19.6代入公式h4.9t2，得t24，所以正数t42(秒)．

即铁球到达地面需要2秒．

说明：强调实际问题t是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的．

内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．

目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a中的a是一个非负

数，a的算术平方根a也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．

效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．

第四环节：反馈练习

一、填空题：

1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是

；

2．9的算术平方根是

；

23．()2的算术平方根是

；

34．若m22，则(m2)2

．

二、求下列各数的算术平方根：

36，1215，15，0.64，104，225，()0．

1446三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？

答案：一、1．7；2．3；3．6；2；4．16；二、311；15；0.8；102；15；1．

12三、解：由题意得

AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得ABAC2BC25.524.5210(米)．所以帐篷支撑竿的高是10米．

目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.

效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．

第五环节：学习小结

内容：这节课学***方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：

(1)算术平方根的概念，式子a中的双重非负性：一是a≥0，二是a≥0．

(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．

(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．

目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．

第六环节：作业布置

习题2.3

四、教学设计反思

1．细讲概念、强化训练

要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．

“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，”的“正数x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根

是零. “加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.

“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用. 2．发展思维、适度拓展

在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对a的双重非负性的知识进行适当的拓展. 第二章

实数

２.2 平方根（第2课时）

一、学生起点分析

学生在七年级上册学习

“棋盘上的故事”就认识了一种运算

“乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方．知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0．

在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根．那么这一课时进一步学***方根．本节也为后面学习

“立方根”做基础．

二、教学任务分析

《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第二节．本节安排了两个课时完成．第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力．本节课是第二课时，继续学***方根的概念及其运用．并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导－探索－类比－发现”中发展学习数学的能力．为此，本节课的教学目标是

①了解平方根、

开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联

系．

②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．

③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．

教学重点是

①了解平方根、开平方的概念．

②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．

③了解平方根与算术平方根的区别与联系．

教学难点是

①平方根与算术平方根的区别和联系．

②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．

三、教学过程设计: 本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节

第一环节

复习旧知

引入新知；第二环节

形成概念，辨析概念；第三环节

例题和巩固练习；第四环节

课堂小结；第五环节

思维拓展；第六环节

布置作业．

第一环节

复习旧知

引入新知

内容:方法一

复习引入

1．什么叫算术平方根?

3的平方等于9，那么9的算术平方根就是

3

．

2

2的平方等于

4

，那么4

的算术平方根就是_____5_________．

52525

展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_

7_米．

2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？

乘方有没有逆运算?

平方与算术平方根之间的关系？

已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面

积变为原来的2倍，那么它的边长为___2___；若面积变为原来的3倍，则边长为____3_____；若面积变为原来的n倍，则边长为____n____．

方法二

复习引入

问题

平方等于9，4，49的数还有吗？

25

目的:

这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash情景引入，增加动画效果．

效果

借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．

说明

数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．

第二环节

: 新课学习

内容

（一）探究新知

填空

3=(9 )

2

(－3)=(9 )

(

)=9

0=0

()

(1222221=(4)

2

214

(不存在)=－4 212)=(4)

1（二）形成概念(1) 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a的算术平方根．

2表达式为:若x=a，那么x叫做a的平方根．

记作

a．

例如:(±4)

=16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．

2

（三）探索平方与开平方的关系: 给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．

（四）概念辨析

平方根与算术平方根的联系与区别

联系

1．包含关系

平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．

2．只有非负数才有平方根和算术平方根．

3．

0的平方根是0，算术平方根也是0．

区别

1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．

2．表示法不同：平方根表示为

a

，而算术平方根表示为a．

目的

形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念

“平方根”与

“算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．

效果

由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概

念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠．

说明

平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．

对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．

第三环节

例题和新知巩固

（一）例题示范

求下列各数的平方根:

(1)64；(2)492；(3)

0.0004；(4)25；(5) 11 121解

（1）8264，64的平方根是8，即648；

494977（2）11121,121的平方根为11，即249121711；

（3）0.0220.0004,0.0004的平方根是0.02，即0.00040.02；

（4）252252,252的平方根是25，

即25225；

（5）11的平方根是11

目的

这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟

练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数．

效果

通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正

确的符号化语言．

（二）思考提升

1．52的平方根是

，81的算术平方根是_____，_____；

2．64

，52

，64

，0.04=_______；

3．a2=

，当a0时，a

．

（三）巩固练习

1 ．下列说法正确的是

①3是81②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根的平方根；等于0的数是0；⑤64的平方根是8．

2．下列说法不正确的是(

) ．

(A)0的平方根是0

(B)22的平方根是2

(C)非负数的平方根是互为相反数

(D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

3．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（

）．

(A) a+1

(B)a1

(C)

a2+1

(D)a21

4．x为何值，224的平方根是9x2有意义？

x答

因为0，所以x0

2

目的

围绕本节课的重点知识

（平方根）作适当的练习，在不同的变式练***方根意义的理解．

效果

学生基本能顺利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达．

第四环节

课堂小结

内容

引导学生总结本课时的知识、方法．

目的

让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．

效果

在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如

平方根的概念

若x2a，则x叫a的平方根，xa

平方根的个数

正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．

平方与开方之间的关系；

求平方根的方法

求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．

第五环节

提高训练

内容

1.511的小数部分为a，511的小数部分为b，求ab的值．

2．已知实数a，b满足b2a496b

①若a，b为ABC的两边，求第三边c的取值范围；

②若a，b为ABC的两边，第三边c等于5，求ABC的面积．

目的

安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．

第六环节

作业布置

习题2．４

四、教学设计反思

本节课是八年级上册第二章《平方根》的第二课时．主要知识是平方根的学习和运用．教材是教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．

（一）注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的．所以在学***方根的概念时，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的经验不符．对此，在平方根的引入时，可多提一些具体的问题．如“9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9．还有其他的数，它的平方也是9吗？”等等，旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念．再让学生去讨论

一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念．

（二）鼓励学生进行探究和交流

本节课为学生提供了有趣而富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流．如

把正方形的面积不断的扩大为2倍、3倍、n倍，来引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受学***方根的必要性．

（三）设计之中多处运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系．类比概念

“平方根”和“算术平方根”的区别和联系，“平方”和“开平方”运算．

（四）根据学生实际，灵活使用教材

教材上只安排了一道例题和几个想一想，为了让学生对新知巩固，我增加了部分练习题，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习．当然，选题要有层次，有梯度．老师们在进行教学时可以根据学生的实际情况作适当的取舍．

（五）建议

根据知识结构的逻辑关系与学生的认知规律，建议教材在内容安排上平方根

置于算术平方根之前．