2.2.3 两条直线的位置关系教学设计和教学实录

《两条直线垂直的条件》

一、教材分析：

教材：人教版普通高中课程标准实验教科书B版，必修（二）第二章第二节第三部分内容

平面解析几何初步这一章，主要内容是用代数形式研究平面上最基本、最简单的几何图形——直线和圆。通过这一章的学习，既能为进一步学习解析几何的圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想方法打好坚实的基础。

本节课是在学习了直线的四种基本形式（斜截式、点斜式，两点式和一般式）的基础上，进一步探究如何利用直线方程的系数判定两条直线的垂直关系。它既是直线方程概念的深化利用，也是后续研究直线与圆的位置关系的重要基础，并在会考说明中，有具体的考察题目。

用直线方程判定两条直线的位置关系，体现了用代数方法研究几何问题的思想，这是贯穿于本章乃至整个解析几何体系的一种思想方法。

综上所述：我将本节课的教学目标定为：

①知识与技能：根据两条直线的斜截式和一般式，判定两条直线垂直

②过程与方法：类比两条直线平行条件的研究方法，学生自我探究，生成知识结构并应用解题

③情感态度价值观：培养用代数方法研究几何问题的思想，感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用。

教学重点为：根据两条直线方程，判定两条直线垂直。

二、教法分析：

课前：数学知识相互联系十分紧密。研究新的问题，必须有熟练应用的知识基础作保证，而我们的学生经常会在这一环节中出现问题，因此，在教学之前，需要做好相应的知识铺垫，避免课堂上出现断档，保持课堂的流畅性。因此我设计了课前学案。

课中：通过阅读教参，发现两条直线垂直的条件，以及前一节课的两直线平行条件，都可以从代数和几何两个方向加以证明，其中代数方法着重培养学生的代数思维和计算推理能力，几何方法更加直观，学生容易理解和建构数与形之间的关系，而且几何方法中涉及的直线的斜率，是今后学习导函数的重要基础，学生一定要理解斜率的作用。

效果：设计了课堂检测，对学生的学习程度进行随堂的检测。

三、学法分析：

通过对期中考试的两个典型题目的分析得出，学生在计算推理方面容易出现问题，而简单几何证明相对好理解一些。但之前已经说明了，代数和几何方法所体现的思想方法各有不同，不能兼顾，如何取舍呢？我将前一节课平行条

件的证明，和本节课垂直条件的证明过程，进行对比，发现平行条件的代数正法，较为容易，并且几何法初中研究过，因此平行条件的证明选择代数法，几何法作为回顾和铺垫，而本节课的垂直条件证明，则选择几何法，提升课堂效率，避免难点。

教学重点为：根据两条直线方程，判定两条直线是否垂直。

教学难点为：1、判断两条直线方程是否垂直；

2、求与已知直线垂直的直线方程。

四、教学过程分析：

1.教学流程：

知识的回顾与复习

为探究新知做准备

探究两直线垂直条件

新知的探究与应用

例题与考题应用结论

课堂小结

提高认识

课堂检测

落实技能

布置作业

巩固新知

2.教学内容

学生活动

教学设教学过程

计

同一平面内的两条直线的位置关系：重合、

平行、相交（特殊：垂直）

（一）

知识的回顾与复习：

1、

已知直线l1和l2的斜截式方程：

l1:yk1xb1l2:yk2xb2时

l1//l2k1k2且b1b2

2、

已知直线l1和l2的一般式方程：

学生完成部分学案

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20时

l1//l2A1ACC2且12

B1B2B1B2A1B2A2B1且BC12B2C1或AC12A2C1

注：当直线 l1和 l2斜率都不存在时，直线

l1和 l2平行或重合

通过复习知识，并在学案上呈现出来，以备之后探究的应用需求，为课上归避困难点。

（二）新知的探究与应用：

两条直线垂直条件探究：

1、当直线l1和l2的斜截式方程：

l1:yk1xb1l2:yk2xb2时

则直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2。

有怎样的关系时，两直线相互垂直

得k1tan,k2tan

2

学生观察图象，并类比探究两直线平行条件的方法，探究两直线垂直的判定方法。

通过自主探究，深化对直线倾斜角的认识和利用

即l1l2k1k21

注：若直线l1:xa、l2:yb时l1l2

例1：判断下列各组中的两条直线是否垂直。

1

①

y4x2与yx5

4学生应用结论

②

5x3y6与3x5y5

③

y5与x8

2、当直线l1和l2的一般式方程：

学生探究并推导一般l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20时

式条件下两直线垂直的条件

A1A2则l1l2()()1B1、B2都不为零

B1B2

即l1l2A1A2B1B20

完成此题

总结：与直线11tank2

tank12例2、已知两条直线l1:2x4y70l2:2xy50,求证:l1l2。

ykxb1垂直的直线方程可设为y

1xb2

k

巩固知识

变换形式，多角度发现知识

变换形式，多角度运用知识，达到灵活

例3：求过点(2，2)，且与直线l1:3x4y200垂直的直线方程

。

例4：求证：直线AxByC10与直线

总结：

BxAyC20垂直

例5、已知两直线

l1:xay2a20,l2:axya10(1)若

l1//l2,求a；（2）若

l1l2,求a

课堂练习：

1、求过点A1,2且与直线l1:xy20垂直的直线l的方程。

应用知识，探究与AxByC0发现新垂直的直线可以设：知识，通过例题，BxAym0的注意到形式，其中m待定。

一般式

情况下，

垂直的

直线方

程设法

学生通过完成例题，

灵活运体会两直线平行和垂用所学直的联系和区别

知识

检验课学生课堂完成

堂成果

2、已知两点A7，4，B5，6，

求线段AB的垂直平分线的方程。

（四）课后作业：

1、已知点P3，4和直线l:x4y201过点P和直线l平行的直线方程；2过点P和直线l垂直的直线方程。

学生课下完成

让学课后过作进一巩固识点

生通业步知

2、已知两直线l1:axy2a0,l2:2a1xaya0(1)若l1//l2,求a;(2)若l1l2,求a.

五、课堂小结: 1、本节课我们共同探究了直线的一般式方程和斜截式方程垂直的条件。

2、与直线的一般式方程和斜截式方程垂直的直线如何表示。

3、我们在学习的过程中用到了数形结合的思想，你能知道在什么地方也用到了数形结合的思想吗？

总结该课所学知识和所用方法

留下一个非常重要的问题，让学生好好思考

六、课后反思

1.注重前后的联系，螺旋上升

①涉及的知识，提前复习

②涉及的方法，提前铺垫

③多种解题方式，适时的体现

2.注重技能的落实，少说多做

不怕题容易，就怕做不对

两条直线垂直的条件教学设计

王勇