2.3.4 圆与圆的位置关系设计意图

第4.2.2节

圆与圆的位置关系

（一）三维目标

1．知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.2．过程与方法设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；（3）当|r1

–

r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；（4）当l = |r1–

r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l＜|r1 –

r2|时，圆C1与圆C2内含.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.（二）教学重点：

圆与圆的位置关系

（三）教学难点：

用坐标法判断圆与圆的位置关系.（四）教学过程

【新课导入设计】

导入一：

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1.问题情境：

（1）初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？

（2）在初中，我们怎样判断圆与圆的位置关系呢？

2.学生活动

（1）你能说出判断圆与圆的位置关系的两种方法吗？

方法一：利用圆与圆的交点个数；方法二：利用圆心距d与半径之间的关系. （2）如何用圆与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？

（3）若将两个圆的方程相减，你发现了什么？

导入二：

平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？

判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下：

第一步：计算两圆的半径R,r；

第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；

第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系. 两圆的位置关系表

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外离

d＞R+r 外切

d=R+r 相交

|R-r|＜d＜R+r 内切

d=|R-r|

内含

d＜|R-r|

在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系. 导入三：

前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系. 导入新课

思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？

判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系. 两圆的位置关系：

外离

d＞R+r 外切

d=R+r 相交

|R-r|＜d＜R+r 内切

d=|R-r| 内含

d＜|R-r|

在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系. 思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系. 提出问题

①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？

②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？

③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？

④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？

⑤如何判断两个圆的位置关系呢？

⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？

⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？

讨论结果：①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含. ②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断. ③略. ④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系. ⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

1°当d＞R+r时,圆C1与圆C2外离；2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；

3°当|R-r|＜d＜R+r时,圆C1与圆C2相交；

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4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；5°当d＜|R-r|时,圆C1与圆C2内含；

二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离. 总结比较两种方法的优缺点. 几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标. 代数方法：

1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离). 2°优点是可以求出公共点. ⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程. ⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断. 例题讲解

例1

已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系. 活动:学生思考交流,教师引导提示,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断. 22xy2x8y80,解:方法一:圆C1与圆C2的方程联立得到方程组22xy4x4y20.(1)(2)

①-②得x+2y-1=0,

③

由③得y=1x,把上式代入①并整理得x2-2x-3=0.

④

2方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C1与圆C2相交. 方法二:把圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10. 圆C1的圆心是点(-1,-4),半径长r1=5; 圆C2的圆心是点(2,2),半径长r2=10. 22圆C1与圆C2的连心线的长为(12)(42)=35,圆C1与圆C2的半径长之和为r1+r2=5+10, 半径长之差为r1-r2=5-10. 而5-10＜35＜5+10,即r1-r2＜35＜r1+r2, 所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点A、B. 点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观. 变式训练

判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程. 第

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(1)(x+2)+(y-2)=1与(x-2)+(y-5)=16, (2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0. 解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距d=[2(2)(52)=5. 因为d=r1+r2,所以两圆外切. (2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36. 故两圆的半径分别为r1=4和r2=6, 22两圆的圆心距d=(03)(30)32. 22因为|r1-r2|＜d＜r1+r2,所以两圆相交. 例2

已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.

活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x2项、y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长. 解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组

22xy2x6y10,22xy4x2y110.(1)(2)

①-②,得3x-4y+6=0. 因为A、B两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3. 又点C1到直线的距离为d=|13436|9=. 2253(4)所以AB=2rd2224924,即两圆的公共弦长为. 232()2555点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用. 变式2

已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＋2y－40＝0相交，圆C过原点，半径为10，圆心在已知两圆的公共弦所在的直线上，求圆C的方程．

解：设圆C与圆C交于A、B两点，由两圆的方程相减，消去二次项得到一个二元一次方12程x＋3y－10＝0，此方程即为公共弦AB所在的直线方程；

由已知，圆C的圆心C在两圆的公共弦所在的直线上，

即在直线AB上，设C(a，b)，则a＋3b－10＝0

①，

又由|CO|＝10，得a2＋b2＝10

②，

①②联立，解得a＝1，b＝3. 所以，圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10. 第

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22

例3

求与圆C：x＋y－2x＝0外切且与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．

【分析】

①已知外切圆的方程；②已知所求圆的一条切线；③已知切点．解答本题可设出圆心和半径，根据三个条件列方程组求解．

【解】

圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，

圆心C(1,0)，半径为1. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

b＋3×－33由题意可得a－3|a＋3b|2＝ra－2＋b2＝r＋1＝－1

a＝4，解得b＝0r＝2

. 所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 【规律方法】

两圆外切时常用圆心距等于半径之和求解，圆与直线相切时，该圆心到这条直线的距离等于圆的半径，若已知切点坐标，也可以用切点与圆心间的距离得圆的半径，本题是设出圆的方程，根据已知条件列出关于a，b，r的方程组，用待定系数法求解．

22变式练习

求半径为4，与圆x＋y－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．

∴所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝42，或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝42. 已知两圆(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝r2(r>0)相切，则实数r的值为________．

两圆的圆心距

d＝[2－－2＋－2＝5，

两圆的半径分别为r1＝1，r2＝r. 因为两圆相切，所以|r1－r2|＝d或d＝r1＋r2

也就是|1－r|＝5或5＝1＋r，解得r＝6或r＝4.

课堂小结

本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法. 作业

习题4.2

A组8、9、10、11.

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