1.3 二项式定理（通用）优质课教案内容

1．3．1二项式定理（第一课时）

教学目标：

（一）知识与技能

1．掌握二项式定理及其展开式的通项公式；

2．能运用二项式定理展开某些二项式，会求某些特定项．

（二）过程与方法

通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力．

（三）情感、态度与价值观

1．激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，并通过数学的对称美. 2．培养学生的审美意识，通过展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识．

教学重、难点：

1．二项定理的推导及其展开式的应用。

2．知识的发生过程，用计数原理证明二项式定理．

教学方法：自主探究、学案导学

课时安排：1课时

教学过程：

一、创设情境

问题１：今天星期五，再过810天的那一天是星期几？

问题2：因为8=7+1，那么810=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？这将是本节课要研究和学习的问题。

二、新知探究

（一）预习提纲

(根据以下提纲，预习教材第29-30页，找出疑惑之处) 1．运用多项式乘法法则写出（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式，并探究：①项数；②各项次数；③字母a、b指数的变化规律，按a降幂b升幂填写. （1）(a+b)2= (a+b)(a+b)=

，合并同类项后展开式共

项，各项是

次的，它们分别为

,每一项都是a____b___(k________)的形式. （2）(a+b)3=(a+b)(a+b) (a+b)=

，合并同类项后展开式共

项，各项是

次的，它们分别为

,每一项都是a____b___(k________)的形式. （3）(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=

，合并同类项后展开式共

项，各项是

次的，它们分别为

,每一项都是a____b___(k________)的形式.

2．如何利用计数原理得到(a+b)2，(a+b)3

，(a+b)4的展开式各项的系数呢？

（1）对于(a+b)2 ：a2是从__个（a+b）中取__相乘而得到，相当于从__个（a+b）中取__个b的组合数C__，因此a2的系数是C__. ab是从__个（a+b）中取__，__个（a+b）中取__相乘而得到，相当于从__个（a+b）中取__个b的组合数C__，因此ab的系数是C__. b2是从__个（a+b）中取__相乘而得到，相当于从__个（a+b）中取__个b的组合数C__，因此b2的系数是C__．(a+b)2的展开式可用组合数表示为：

(a+b)2=(a+b) (a+b)=

（2）对于(a+b)3 ：利用同样的办法探究得到含a3、a2b、ab2、b3这些项的系数分别为C__，C__，C__，C__，（a+b）3的展开式可用组合数表示为：

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=

（3）对于(a+b)4 ：利用同样的办法探究得到含a4 、

a3b、a2b2、ab3、b4这些项的系数分别为C__、C__、C__、C__、C__，（a+b）4的展开式可用组合数表示为：

(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=

3．根据以上归纳，猜想(a+b)n的展开式合并同类项后展开式共

项，各项是

次的，它们分别为

,每一项都是a____b___(k________)的形式. ankbk(k0,1,2,...,n)从__个（a+b）中取__，__个（a+b）中取__相乘而得到，相当于从__个（a+b）中取__个b的组合数C__，因此a的展开式可用组合数表示为：

(a+b)n=

(n∈N+) （二）二项式定理

1．公式：(a+b)n=

(n∈N+) 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a十b)n的二项展开式，____(k=0，1，２，…，n)叫做二项式系数，＿＿＿＿叫做二项展开式的通项，记作Tk+1=＿＿＿。

nkbk(k0,1,2,...,n)的系数是C__.猜想(a+b)n

2．特点：(1)项数：展开式共有

项；(2) 二项式系数：依次为

；(3)指数：a的指数是从＿开始逐渐减＿按降幂排列到＿；b的指数是从＿开始逐渐加＿按升幂排列到＿；(4)项的次数：各项ａ，ｂ次数和都是＿．

ka3．注意：（1）二项展开式的通项Tk+1=Cnnkbk，

(ｋ＝0，l，2，…，n)是(a十b)n展开式的第＿＿项，而不是第＿＿项；（2）a、b的位置不能颠倒，即(b十a)n的展开式第k十1项，ka不是Cnnkbk，而应为__________；（3）是(a一b)n的展开式第k十1项为_________________________；（４）注意区别二项式系数与指定项的系数异同

k在(a十b)n的展开式中，系数Cn

(ｋ＝0，l，…，n)是一组仅与二项式的次数n有关的n十1个组合数，与a、b无关，因此称为二项式系数．而(a十b)n的展开式中指定项系数与a、b一k般是有联系的．例如：而(1十2x)n的展开式第ｋ十l项的系数为2Cn，(2十x)n的展开式第nkkｋ十1项的系数为2．

4．特值思想：二项式定理中，如果设a1，bx则得到公式，

1xn______________________思考：(1x)n＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

5．练习：

810=（7+1）10＝

, 当今天是星期五，再过810天后是星期

．

三、典例分析

例1

求(2x化简后展开．

变式：把分式中的分子1改写为-2呢？求(2x

四、拓展提高

0n1n1设n为自然数，则Cn2Cn2knk1Cn2kn1Cn（

）

n16)的展开式、常数项、第三项的二项式系数。

分析：为了方便，可以先x26)的展开式中的常数项．

xA．2

B．0

C．

-1

D．１

n

五、归纳总结

1．二项式定理的推导，体现排列、组合思想的应用；2．二项式定理的结构及其注意问题.3．通过探究体验，你有哪些方面的收获？

六、作业设计

1．必做题：P36-37Ａ组

1，23；

2．选择题：见拓展资源

七、精彩一练

1．(x-1)10的展开式中第６项的系数是（

）

6655（A）C10（B）-C10（C）C10（D）-C10

2．(2a+3b)6的展开式中第3项是________ 013．CnCnkCnn=________ Cn122nn4．C0n3Cn3Cn3Cn

5. (2x

16)的展开式的常数项为

x