2.2.1 综合法和分析法教学设计(教案)

科目

数学

课题

22§4.4同角三角函数的基本关系式

公式sincos1及教

材

分

析

重点

sintan的推导及下述运用：

cos1．

已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；

2．

化简三角函数式；

3．

证明简单的三角恒等式。

1．

根据角α终边所在象限求出其三角函数值；

2．

在证明恒等式时，判断哪一种格式较为简便并予以采用。

讲清证明恒等式不同格式的各自特点，给予一定的训练。

难点

关键点

教

学

目

标

1．

使学生掌握同角三角函数的基本关系；

2．

已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；

知识目标

3．

利用同角三角函数关系式化简三角函数式；

4．

利用同角三角函数式证明三角恒等式；

1．

牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；

能力目标

2．

灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法。

3．

掌握恒等式证明的一般方法（P26例5）。

课时安排

2课时

教法

建构式教学法

教学设备

教与

学过

程设

计

具体见下

教学

1．课时一的例2可作为学生练习，而将例1的“并且是第二象限角”擦去作为例后记

2教学的目的。

教与学过程设计

第一课时

同角三角函数的基本关系式（一）

（一）

复习引入

已知角α终边上任一点P（x，y），它到原点距离为r。则：（作图说明）

sinyx,cos

rrytan(k,kZ)

x2cotx(k,kZ)

y根据这四个三角函数的定义，你能不能通过一些初等运算（加、减、乘、除、乘方等），找出一些同角三角函数之间的关系？

（3分钟）

（二）

新课

1．

公式推导

师：先观察tanyx与cot，它们之间有什么关系？

xy生：互为倒数，即tancotyx=1。

xy师：但要注意，此式子并不是恒成立，而是在k2且k(kZ)下才成立。

师：sin与cos之间有什么关系？（教师引导：加，乘，除，平方）

经过师生共同讨论，得出：

sincos1，22sintan（严格推导过程）

cos说明：1、这三条公式就是今天我们要学的同角三角函数的基本关系式，它们分别叫做平方关系、商数关系、倒数关系。

2、注意这三条公式在某些情况下没有意义，但在今后说到其他已证明或待证明的三角恒等式时，如没有特殊注明，都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式。

3、这三条公式是对同一个角的关系，即sin2cos2下面我们就要运用这三条公式解决一些具体问题：

2．

公式的运用

例1

已知sin（7分钟）

1是不成立的。

4，并且是第二象限角，求cos,tan,cot的值。

5处理：师生讨论，教师板演。

说明：已知一个三角函数值，根据这三条基本关系式定可求出其余三角函数的值。这是这三条基本关系式的一个重要用处。我们把这类求值问题称为“知一求三”。

（4分钟）

例2 已知cos8，求sin,tan的值。

17处理：学生思考并练习，碰到疑问教师解答，板演。

` 说明：此题仍是“知一求三”的问题，但与例1不同，它没有明确指出是哪个象限角，解决这类问题的关键是，根据已知三角函数值确定角所在象限，在进行分类讨论。

练习：P27 练习1、2、3

处理：四位学生板演再讲评。（1简单，2、3较难）

（10分钟）

例3 已知tan为非零实数，用tan表示sin,cos。

处理：师生讨论，教师板演。

说明：三角函数这一章最大的特点就是：公式多。随着学习的深入，我们还要学习很多公式，到一定熟练程度以后，对同一个题目可能用许多公式都能解决，但如何选择公式简化运算过程是一个非常重要的问题。

解决这个问题的关键是多做这方面的训练，并且在做完一个题目时要学会反思：还有没有其他解法，更简单的解法？（一题多解）

另外，要注意公式的变形运用。

（6分钟）

练习：P27 练习4 处理：学生练习，教师板演。

（3分钟）

（三）

小结

本节课主要探究两个问题：

1．

同角三角函数的三个基本关系式；

．．

2．

三个基本关系式的应用——求值（知一求三）

（1）

指定象限的；

（2）

没有指定象限的。

3．

要注意这三个公式的变形运用。

22

（1分钟）

注意：有时间还可将例4推广求sin2cos的值；例5推广求sinα、cosα的值。

（四）

作业

1．P27 习题4.4第1、2、3、4 2．每课一练《同角三角函数的基本关系式（一）》

第二课时

同角三角函数的基本关系式（二）

sinα

cosα

tanα

cotα

secα

cscα

（一）复习引入

上节课我们学习了同角的三角函数基本关系式，即

平方关系：sincos1

22sintan

cos倒数关系：tancot1

商数关系：

当然同角的三角函数关系式不止这三条，那还有哪些？

还有多少？如何去记呢？下面我们就介绍一种记忆的方法。大家还可以去看数学1+1。

对这三条公式上节课我们进行简单的运用——求值，即知一求三。下面我们要进一步运用。

（2分钟）

（二）新课

例1 化简1sin24400

处理：师生讨论，教师板演。

说明：利用同角三角函数关系式化简三角函数式是同角三角函数关系式的一个重要运用。

注意三角函数式的化简要尽量满足：

1．

函数种类尽可能的少；

2．

次数尽可能的低；

3．

项数尽可能的少；

4．

尽可能的不含分母；

5．

尽可能的将根号内因式移到根号外。

（4分钟）

练习：P27 练习5（学生练习，教师简单板演）

说明：练习5（2）要重点讲解，化简思路：减少函数种类；另外三角恒等式证明中要善于用“1”。

（5分钟）

例2 证明cosx1sinx

1sinxcosx处理：教师详细板演。

说明：（1）证明一个等式有几种思路：1、从一边到另一边； 2、先证明另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立；3、证明左右等于同一个式子；

（2）证法一的出发点是消除左右差异；证法二的解题思路是从要证的恒等式入手，假定结论成立，由此推出一个成立的式子，从而找到解题途径，即沿着此式子逆推直到结论成立，这种方法叫分析法。证明恒等式常采用分析法寻找解题思路；证法三的出发点是证明两个式子相等即证明它们的差为零。

（10分钟）

练习：P27 练习6

处理：学生思考，教师板演。

（5分钟）

补充练习：求证12sinxcosx1tanx

cos2xsin2x1tanx处理：学生思考，教师板演。（两种方法证明）

说明：证明三角恒等式的基本原则：1、有繁到简；2、化“切”为“弦”。（7分钟）

练习：P28习题4.4第8（1）（4）题

处理：学生练习，教师简单板演。

说明：第8（1）题，巩固证明三角恒等式的基本原则；第8（2）题说明证明三角恒等式要学会适当将等式变换后证明。

（6分钟）

（三）小结

今天这堂课向同学们介绍了化简、证明三角恒等式中的一些方法、原则。要知道，数学有一些基本的解题原则，但无定法。因此同学们在做题时，首先要遵守一些基本原则，如：化简要有繁到简、化“切”为“弦”等，但具体问题还要具体分析。在方法上，证明恒等式常用一下方法：1、从一边到另一边； 2、先证明另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立；3、证明左右等于同一个式子。

（四）备用题

例4 已知tan2，求3sincos的值。

2sin3cos处理：学生思考并请学生谈思路，最后教师总结、板演并提出一般方法。这种技巧要熟练掌握。

（5分钟）

例5 已知sinα+cosα=a 33求（1）sinαcosα；（2）sinα+cosα的值。

说明：由本例可见由sinα+cosα的值就可以求得sinαcosα的值，反之亦然。进而可4466求出所有关于sinα、cosα对称式的值。如sinα+cosα，sinα+cosα的值等。这些技巧在解题中要经常用到。

（8分钟）

（五）作业

1．P28 习题4.4 第5，6，7，8（2）（3），9题

2．每课一练《同角三角函数的基本关系式（二）》