2.2.2 反证法名师教学设计1

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2.2.2

反证法

学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点) [自

主

预

习·探

新

知] 反证法的定义及证题的关键

思考1：反证法的实质是什么？

[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．

思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？

[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．

[基础自测] 1．思考辨析

(1)反证法属于间接证明问题的方法．

(2) 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题．

(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．

[答案]

(1)√

(2)×

(3)√

2．“a

)

【导学号：48662082】

A．a≠b

C．a＝b

[答案]

D

333．用反证法证明“如果a＞b，那么a>b

”，假设的内容应是________．

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(

) (

) (

) B．a>b

D．a＝b或a>b

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[答案]

33a≤b

4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号) ①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．

①②③

[反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．] [合

作

探

究·攻

重

难]

用反证法证明否定性命题

已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列.

【导学号：48662083】

[证明]

假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b. ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，

∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c. 从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，

故a，b，c不成等差数列．

[规律方法]

1．用反证法证明否定性命题的适用类型

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．

2．用反证法证明数学命题的步骤

[跟踪训练] 1．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求高考资源网版权所有，侵权必究！

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证：AC与平面SOB不垂直．

[证明]

假设AC⊥平面SOB，如图

∵直线SO在平面SOB内，

∴SO⊥AC. ∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面SAB. ∴平面SAB∥底面圆O. 这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．

用反证法证明唯一性命题

求证方程2x＝3有且只有一个根.

【导学号：48662084】

[证明]

∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，

则2b1＝3,2b2＝3，

两式相除得2b1－b2＝1. 若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．

若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．

∴b1－b2＝0，则b1＝b2. ∴假设不成立，从而原命题得证．

[规律方法]

巧用反证法证明唯一性命题

1当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明. 2用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立. 3证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性. [跟踪训练] 2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．

[证明]

假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．

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若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．

若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．

综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．

用反证法证明“至多”“至少”问题

[探究问题] 1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？

提示：

量词

至少有一个

至多有一个

至少有n个

含义

有n个，其中n≥1 有0或1个

大于等于n个

2.在反证法证明中，你能说出

“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的反设词吗？

提示：

量词

至少有一个

至多有一个

至少有n个

反设词

一个也没有

至少有两个

至多有n－1个

已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．

[证明]

假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：

4a2－4－4a＋3<0，a－12－4a2<0，2a2＋4×2a<0

13⇒a>3或a<－1，⇒－2

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这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．

母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？

[解]

若方程没有一个有实根，

22则a－1－4a<0，4a2＋8a<0，16a2－43－4a<0，

13解得a>3或a<－1，即－2

故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是

3aa≥－1或a≤－2



2．(变条件)将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围．

[解]

假设三个方程都有实数根，则

a－12－4a2≥0，2a2＋4×2a≥0，4a2－4－4a＋3≥0，

2即3a＋2a－1≤0，a2＋2a≥0，4a2＋4a－3≥0，

1解得－1≤a≤3，a≤－2或a≥0.31a≤－2或a≥2，

即a∈∅. 所以实数a的取值范围为实数R.

[规律方法]

当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、

“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法

提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.

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[当

堂

达

标·固

双

基] 1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(

) A．有两个内角是钝角

B．有三个内角是钝角

C．至少有两个内角是钝角

D．没有一个内角是钝角

C

[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.] 2．如果两个实数之和为正数，则这两个数(

)

【导学号：48662085】

A．一个是正数，一个是负数

B．两个都是正数

C．至少有一个正数

D．两个都是负数

C

[假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.] 3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．

b与c平行或相交

[∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．] 4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；

③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正确顺序的序号排列为________.

【导学号：48662086】

③①②

[根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．] 5. 设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}高考资源网版权所有，侵权必究！

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不是等比数列．

[证明]

假设数列{Sn}是等比数列，则S22＝S1S3，

2即a2a1(1＋q＋q2)，

1(1＋q)＝a1·因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，

即q＝0，这与公比q≠0矛盾．

所以数列{Sn}不是等比数列．

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