2.基本不等式教学设计和教学实录

《基本不等式》教案

灵宝市实验高级中学

丁平平

一、考纲研读

1.了解基本不等式的证明过程；

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、知识梳理

a＋b1.基本不等式：2≥ab

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号. a＋b

(3)其中2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数. 2.几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. a＋b(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤2a2＋b2a＋b(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(3)2≥2ba

(4)a＋b≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x＋y有最小值是_____(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当_____时，xy有最大值是

(简记：和定积最大). 三、诊断自测

1.判断正误

a＋b(1)当a>0，b>0时，2≥ab.(

) a＋b(2)两个不等式a＋b≥2ab与2≥ab成立的条件是相同的.(

) 22221(3)函数y＝x＋x的最小值是2.(

)

4(4)函数f(x)＝sin x＋sin x的最小值为4.(

) xy(5)x＞0且y＞0是y＋x≥2的充要条件.(

)

2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(

)

A.80

B.77

C.81

D.82 3.若x<0，则x1（

）

xA.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为-2 D.有最大值，且最大值为-2 1x22x14.已知f(x)，则f(x)在[,3]

上的最小值为

（

）

2xA.

14

B.

C. -1

D.0 231b

的最小值为

. 8a5.已知a,b∈R ，且a-3b+6=0 ，则2四、考点整合

利用基本不等式求最值

角度1

通过配凑法求最值

例1-1设0x3

，则函数y=4x(3-2x)的最大值为

. 2角度2

通过常数代换法求最值

例1-2函数y=a1x(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线

mx+ny-1=0上，且m，n为正数，则11的最小值为

. mn规律方法

(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，

然后再利用基本不等式. 【训练1】

(1)若a>0,b>0,且2a+b=4，则1的最小值为（

）

abA.2

B.11

C.4

D.

4251

(2)已知x＜4，求f(x)＝4x－2＋的最大值为

. 4x－5【训练2】

1.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________；

2.已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. 规律方法

条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. 易错警示

(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致. [课堂总结] 1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 作业：

课本P10：5,6,7,8