1.3 二项式定理（通用）PPT专用课堂实录内容

1．3．1二项式定理

一、教学目标

1．知识目标：掌握二项式定理及其简单应用

2．过程与方法：培养学生观察、归纳、猜想能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力以及科学的思维方式。

3．情感态度和价值观：培养学生勇于探索，勇于创新的个性品质，感受和体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

二、教学重点、难点

重点：二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式

难点：展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别

三、教学过程

创设问题情境：

今天是星期一，20天后是星期几，30天后星期几，8天后星期几呢？

前面几个问题全班所有学生都大声地回答出来了，最后一个问题大家都很迷惑，有些学生试图用计算器算，还是觉得很复杂，学习完这节课我们就知道答案了，并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几

10新课讲解：。

22问题1

初中学过的ab=a2abb，如何用计数原理理解这个式？

2（1）合并同类项前的展开式中，共有几项？

（2）能利用分步乘法计数原理解释一下（1）吗？

（3）每项的次数为几次？

（4）每一项都可以写成什么形式？

以上问题有学生观察回答得出。

分析：下面我们分析一下形如a2kbk(k0,1,2)的同类项的个数：

当k0时，a2kbka2，

k1,k2时，a2kbk的同类项的个数呢？

启发类比：分析：在两个袋子中分别取一个球，共有多少种结果？

展开式：

问题2

ab的展开式是什么？

（1）合并同类项前的展开式中，共有几项？

（2）能利用分步乘法计数原理解释一下（1）吗？

（3）每项的次数为几次？

（4）每一项都可以写成什么形式？

学生根据问题1的分析得出结论。

启发类比：

3

问题3

abbaabab的原始展开式有多少项？

ba的4学生能够能容易就得出它的展开式。

学生发现：原始展开式中确有同类项存在，且确实可省去“合并”

04132223344因此abC4aC4abC4abC4abC4b

4问题4 猜想：

ab在合并后的展开式是什么？

同学们归纳猜想，学生们快速地说出

nabn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkkCnabnnCnbnN*

我们数学讲究逻辑地严密性和知识的严谨性，大家猜想地很正确，那么我们怎么来证明呢？

思路：证明中主要运用了计数原理！

①

展开式中为什么会有那几种类型的项？

abn是n个ab相乘，展开式中的每一项都是从这n个ab中各任取一个字母相nk乘得到的，每一项都是n次的。故每一项都是a②

展开式中各项的系数是怎么来的？

bk的形式，k0,1,2,,n

kankbk是从n个ab中取k个b，和余下nk个a相乘得到的，有Cn种情况可以得到kankbk，因此，该项的系数为Cn

定义：一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有

abn0n1n1n2n22CnaCnabCnabknkkCnabnnCnbnN*

1、对二项式的理解：

（1）它有n+1项; （2）各项的次数都等于二项式的次数n; （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0;字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 2、二项式系数：

3、通项：

注意：（1）公式左边叫做二项式，右边叫做ab的二项展开式

（2）定理中的a,b仅仅是一种符号，它可以是任意的数或式子什么的，只要是两项相加的n次幂，就能用二项式定理展开

例：令a1,bx，则

n1xn01122CnCnxCnxkkCnxnnCnxnN*

练习：若令a=1,b= -x，则展开式又如何？

现在同学们能告诉老师8天后是星期几吗？

思考了一会儿，马上有同学大声喊：把8写成7+1，再进行展开，余数是多少，就是星期几

老师故意问：为什么要写成7+1，这时，所有学生都明白了，因为一个星期7天，所以

n81071展开式中除了最后一项外，其余的项都是7的倍数，因此余数为Cn1，故1010应为星期二。

例1

用二项式定理展开下列各式：

11（1）x

（2）

2x

xx方法一：直接展开

112技巧：将根式先化成幂的形式，再进行计算，要简单很多。即原式变成2xx2

646方法二：先合并化简，再展开

建议用第二种方法简单些。

变式一：展开式中的常数项是多少？

变式二：展开式中的第3项是多少？

变式三：展开式中的第3项的系数是多少？

变式四：展开式中的第3项二项式系数是多少？

注意：二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与a,b无关；系数与a,b有关。

例2

（1）求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数

13（2）x的展开式中x的系数和中间项

x当堂检测：

7911.

在2x3的展开式中，常数项为（

）

x

A.14

B.－14

C.42

D. －42 912.

在x2的展开式中，第4项的二项式系数是

，项的系数为

2x课堂小结：

二项式定理：

（1）二项式系数；

（2）通项。

作业：P37 A组

T2,3(1) ,4，5

教学反思：本节课先用今天星期几的问题创设问题情境，一下子把全班学生的学习积极性都调动起来了，老师由浅入深的提问，最后问到8天后星期几，从而引出今天的课题：二项式定理。给大家设置这个悬念后，紧接着又进行一系列的问题教学，整个教学中，采用了类比启发，归纳推理，让学生自己去探究去回答，最后学生之间合作交流归纳猜想出二项式定理的展开式，并且重新复习了归纳推理到猜想再到证明的问题解决方法。通过例题进一步突出了本节课的重点，突破了二项式系数和项的系数这个难点，最后设计一个当堂检测检验学生对本堂课掌握情况，效果很好。

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