1.3 二项式定理（通用）ppt配套教案和课堂实录

《二项式定理》教学设计

乐山二中

陈旭

一、教学内容分析：

《二项式定理》是人教A版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识。

二、学情分析：

学生已经学习了计数原理、排列组合以及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生粗心，对细节知识把握还不够，本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的方法和思想，因此，在本节课中让学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。

三、教学目标设置：

1、知识技能目标：

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广；

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理；

（3）掌握对简单二项式进行展开，能够对项的系数和二项式系数进行区分，并能求出指定项。

2、过程和方法目标：

通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析和归纳的能力，以及划归意识与方法迁移的能力，体会“归纳-猜想-论证”的思想方法，发展探究能力。

3、情感、态度、价值目标：

培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨。

四、教学重难点：

重点：用两个计数原理分析(ab)2和ab3的展开式推导出二项式定理；掌握二项式定理的通项公式；能应用它解决一些简单问题。

难点：用两个计数原理分析推导(ab)2和ab3的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。

五、教学过程：

（一）创建问题情景，引入新课

23引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题：(ab)?

(ab)?

(ab)4?那么(ab)9?……(ab)n的展开式是什么？

【设计意图】学生的学习遵循“历史发生原理”，把二项式定理发现的历史融入新课导入，既能引起学生的兴趣，符合新课程理念，还能提升课堂品味．创设有效的数学情景能激发学生的学习兴趣，为学生提供良好的学习环境．数学的来源，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要．这个问题将“多项式展开有哪些项”包含其中，为后面的研究做好铺垫．

（二）体验感知

探究归纳

1、归纳特点总结规律．

问题1：观察下列展开式，归纳猜想(ab)n的展开式有怎样的规律？

(ab)2a22abb2(ab)3a33a2b3ab2b3432234(ab)4a4ab6ab4abb

生：n次式展开有n+1项

生：展开式中每一项都是n次式

师：我们主要从展开式的哪些方面来发现的这些规律？

生：项数，项，系数．

【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察．只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析．

2、项的结构特点．

问题2：展开式中各项是如何得到的？

（学生叙述展开过程中各项是如何形成的．如果学生的叙述中没有说明从每个因式中取一个字母相乘得到展开式的项，老师提出预备问题：展开式的各项是由同一个因式中的字母相乘得到的吗？）

师：根据多项式乘法法则，(ab)的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项．

n【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境．而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅．通过教师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫．

3．项的系数特点．

问题3：展开式各项的系数是如何确定的？

师：根据多项式乘法法则，各项的形成过程就是有关计数原理的问题．而各项的系数，就是展开过程中该项出现的个数．

【设计意图】本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析．该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法．

（三）知识建构

形成定理

问题4：请写出(ab)的展开式．

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——

二项式定理

n

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是a形式，对于每一项anknnkbk(k0,1,n)的bk，它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它出k现的次数相当于从n个(ab)中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

二项式定理的公式特征：

①展开式中每一项的次数都是n；

②展开式共n1项；

③按照字母a降幂排列，次数由n递减到0，字母b升幂排列，次数由0递增到n；

knkkknkk④Cnab是展开式的第k1项；

Cnab叫二项展开式的通项，用Tk1表示．

k⑤各项的系数Cn(k0,1,n)叫二项式系数．

【设计意图】先由学生独立完成，然后组织讨论．完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数．

（四）巩固新知

提升能力

试一试：

例1：求pq的展开式．

7练习1：求12x的展开式. 531例2：求x的展开式中x的系数. x93x想一想：求展开式中的二项式系数. 62a3b练习2：求展开式中的第3项，以及该项的二项式系数和系数. （五）回顾反思

归纳总结

知识方面：二项式定理，通项，二项式系数；

思想方法：从特殊到一般；观察——归纳——类比——猜想——证明．

【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法

（六）课下作业

思维延伸

一、P36: 习题2.3 A组第1题和第2题. 二、《同步解析与测评》P19、P20课后作业. 思维延伸：

5探究(abc)的展开式中abc的系数．

22六、板书设计

例1：

多

222(ab)a2abb

(ab)3a33a2b3ab2b3媒练习1：

432234(ab)4a4ab6ab4abb

体

二项式定理：

例2：

1n1(ab)nCn0anCnabCnkankbkCnnbn(nN*)展

knkk通项Tk1Cnab

示

练习2：

k二项式系数：Cn(k0,1,1.3.1二项式定理

n)

注意：二项式系数与系数的区别